高等数学（上）

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一. 函数与极限

1.1 集合与函数

1. 集合的概念：略

2. 集合的运算：

   • A 与 B 的并集：$A \bigcup B$
   • A 与 B 的交集：$A \bigcap B$
   • A 与 B 的差集：$A \setminus B$
   • 记$I$为全集，A 的补集或余集：$A^C = I \setminus A = {x \mid x \notin A}$
   • A 与 B 的直集（笛卡尔乘积）：$A \times B = {(x,y) \mid x \in A \ and \ y \in B}$

3. 区间：略

4. 邻域：点$a$的邻域表示所有到点$a$的距离小于正数$\delta$的点的集合，记作：$U(a,\delta)$。即表示为：
   $$
   {x \mid \left | x-a \right | < \delta,\delta > 0}
   $$
   去心邻域记作：$\mathring U (a,\delta)$

映射与函数

1. 定义 1:存在一个对应法则$f$，使得对于集合$X$中的每一个元素$x$，在$Y$中都有唯一的元素$y$与之对应，记作：
   $$
   f:X \to Y
   $$
   X 的所有像的集合称为映射$f$的值域，记作$R_f$或$f(X)$，即：
   $$
   R_f = {y \mid y = f(x),x \in X}
   $$
2. 定义 2:设数集$D \in \mathbb{R}$，则称映射 为定义在$D$上的函数，简记为：
   $$
   y = f(x),x \in D
   $$

函数的特性

1. 奇偶性：设函数$f(x)$的定义域$D$关于原点对称。如果对于任意$x\in D$，

   $$
   f(-x) = f(x)
   $$

   则$f(x)$为偶函数。如果对于任一$x\in D$，

   $$
   f(-x) = -f(x)
   $$

   则$f(x)$为奇函数。

2. 有界性：函数$f(x)$在$X$上有上界：
   $$
   \forall x \in X,\exists B_1,f(x) \leqslant B_1
   $$
   函数$f(x)$在$X$上有下界：
   $$
   \forall x \in X,\exists B_2,f(x) \geqslant B_2
   $$
   函数有界：
   $$
   \forall x \in X,\exists M,\mid f(x) \mid \leqslant M
   $$

3. 单调性：设函数定义域为$D$，区间$I \subset D$。如果对于区间$I$上任意两点$x_1,\ x_2$当$x_1 < x_2$时，恒有：

   $$
   f(x_1) < f(x_2)
   $$

   那么称函数 $f(x)$是在区间$I$上单调增加的；如果恒有：

   $$
   f(x_1) > f(x_2)
   $$

   那么称函数$f(x)$是在区间$I$上单调减少的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

4. 周期性：设函数$f(x)$的定义域为$D$。如果存在一个正数$l$，使得对于任一$x \in D$有$(x\pm l)\in D$，且：
   $$
   f(x+l) = f(x)
   $$
   恒成立，那么称$f(x)$为周期函数，$l$成为函数的周期（最小正周期）。

反函数

设函数$f:D\rarr f(D)$是单射，则它的逆映射$f^{-1}:f(D)\rarr D$为函数$f$的逆映射。对于每个$y\in f(D)$，有唯一的$x\in D$使得$f(x)=y$，有：

$$
x = f^{-1}(y)
$$

则互为反函数。

复合函数

设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，且值域$R_g\sub D_f$，则：

$$
y=f[g(x)],x \in D
$$

表示函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为$D_g$，$u$称为中间变量。常记为：$f \circ g$

初等函数

1. 幂函数 $y=x^\mu(\mu \in \mathbb{R})$

2. 指数函数 $y=a^x(a>0,a \neq 1)$

3. 对数函数 $y=log_a x(a>0,a \neq 1)$

4. 三角函数 $\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta, \cot \theta, \sec \theta, \mathrm{cec} \theta$

5. 反三角函数

   函数	定义域	值域
   $y=\arcsin x$	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
   $y=\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$
   $y=\arctan x$	$(-\infty,+\infty)$	$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
   $y=\mathrm{arc}\cot x$	$(-\infty,+\infty)$	$(0,\pi)$

6. 双曲函数：

   • 双曲正弦 $\mathrm{sh}\ x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
   • 双曲余弦 $\mathrm{ch}\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
   • 双曲正切 $\mathrm{th}\ x=\frac{\mathrm{sh}\ x}{\mathrm{ch}\ x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

7. 反双曲函数：

   • 反双曲正弦 $y = \mathrm{arsh}\ x$
   • 反双曲余弦 $y = \mathrm{arch}\ x$
   • 反双曲正切 $y = \mathrm{arth}\ x$

1.2 数列的极限

数列

1. 数列${x_n}$的子数列${x_{n_k}}$表示在原数列中抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的次序。

数列的极限

1. 数列的取值无限接近一个常数$a$，若$a$存在，则$a$是数列${x_n}$的极限，或称数列${x_n}$收敛于$a$，记作：$\lim\limits_{n \to \infty} {x_n} = a$. 如果$a$不存在，则称数列${x_n}$是发散的。

2. 定义 1:设为${x_n}$实数数列，$a$为常数。如果对于$\forall \varepsilon > 0$（不论它多么小），$\exists N \in \mathbb{Z^*}$，使得对于$n > N$时 ，不等式
   $$
   \mid x_n - a \mid < \varepsilon
   $$
   都成立，则称常数$a$是数列${x_n}$的极限，或称数列${x_n}$收敛于$a$，记为：
   $$
   \lim\limits_{n\to \infty} x_n=a \
   x_n \to a\ (n\to \infty)
   $$

数列极限的性质

1. 定理 1:（极限的唯一性） 数列${x_n}$不能收敛于两个不同的极限。

2. 定理 2:（收敛数列的有界性） 如果数列${x_n}$收敛，那么数列${x_n}$一定有界。

3. 定理 3:（收敛数列的保号性） 如果$\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=a$，且$a>0 \ (a<0)$，那么存在正整数$N$，使得当$n>N$时，${x_n}>0 \ ({x_n}<0)$

   • 推论：如果数列${x_n}$从某项起有$x_n \geqslant 0$或$x_n \leqslant 0$，且$\lim\limits_{n\to \infty} = a$，那么$a \geqslant 0$或$a\leqslant 0$

4. 定理 4:（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列${x_n}$收敛于$a$，那么它的任一子数列也收敛于$a$。

1.3 函数的极限

1. 定义 1: 函数当自变量趋于有限值时的极限定义：设函数$f(x)$在去心领域$\mathring U(x_0,\delta)$有定义，如果$\exists A$，对于给定$\forall \varepsilon > 0$（无论多么小），$\exists \delta > 0$，使得当$x$满足不等式$0 < \mid x-x_0 \mid < \delta$时，对应的函数值$f(x)$都满足不等式

   $$
   \mid f(x) - A \mid < \varepsilon
   $$

   那么常数$A$就叫做函数$f(x)$当$x \to x_0$时的极限，记为

   $$
   \lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A \ or \
   f(x) \to A \ (当 \ x \to x_0)
   $$

   $f(x)$在$x_0$处的极限和$f(x)$在$x_0$处的定义无关，甚至$f(x)$可以没有定义。

2. 单侧极限:

   $$
   \lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)} = A \ \Leftrightarrow \ f(x_0^-) = A
   $$

   $$
   \lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)} = A \ \Leftrightarrow \ f(x_0^+) = A
   $$

3. 可以得到：$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)} =A \quad && \quad \lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)} = A$

4. 定义 3：函数当自变量趋于无限时的极限：设$f(x)$当$\mid x \mid$大于某一正数时有定义，如果$\exists A$，对于$\forall \varepsilon > 0$，$\exists M > 0$，使得当$x$满足不等式$\mid x \mid > M$时，满足
   $$
   \mid f(x) -A \mid < \varepsilon
   $$
   则常数$A$叫做函数$f(x)$当$x \to \infty$时的极限。

如果有$\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)} = L \ or \ \lim\limits_{x \to -\infty}{f(x)} = L$，则直线$y=L$称为函数$y=f(x)$的图形的水平渐近线.

函数极限的性质

1. 定理 1:（唯一性） 如果极限$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$存在，那么这个极限是惟一的。

2. 定理 2:（函数极限的局部有界性） 如果$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}=A$，那么$\exists \delta > 0,B>0$，使得当$0 < \mid x - x_0 \mid < \delta$时，有$\mid f(x) \mid \leqslant B$.

3. 定理 3:（函数极限的局部保号性） 如果$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A$，而且$A > 0 (or A < 0)$，那么$\exists \delta > 0$，使当$0 < \mid x -x_0 \mid < \delta$时，有$f(x)>0(or \ f(x) < 0)$.

   推论 1:如果$\lim\limits_{x \to x_o}{f(x)}=A(A \neq 0)$，那么存在$x_0$的某一去心邻域$\mathring U(x_0)$，当$x \in \mathring U(x_0)$时有$\mid f(x)\mid > \frac{1}{2}\mid A \mid$.

   推论 2:如果在$x_0$的某一去心邻域内$f(x) \geqslant 0(or \ f(x) \leqslant 0)$，而且$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A$，那么$A \geqslant 0(or \ A \leqslant 0)$.

4. 定理 4：（函数极限与数列极限的关系）如果极限$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在，$|x_n|$为函数$f(x)$的定义域内任一收敛于$x_0$的数列，且满足：$x_n \neq x_0\ (n \in \mathbb{N}+)$，那么相应的函数值数列${f(x_n)}$必收敛，且$\lim\limits{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$.

1.4 无穷大与无穷小

无穷小

1. 定义 1:如果函数$f(x)$当$x \to x_0(or \ x \to \infty)$时以零为极限，则称$f(x)$是当$x \to x_0(or \ x \to \infty)$时的无穷小。

   特别地，以零为极限的数列${x_n}$称为$n\to \infty$时的无穷小

2. 定理 1:在自变量$x \to x_0(or \ x \to \infty)$的过程中，函数$f(x)$具有极限$A$的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是当$x \to x_0(or \ x \to \infty)$的无穷小。

3. 定理 2:有限个无穷小的和仍然是无穷小。

4. 定理 3:有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论 1：常数与无穷小的乘积是无穷小

推论 2：有限个无穷小的乘积也是无穷小

无穷大

1. 定义 2: 设函数$f(x)$在某个去心邻域内（或当$\mid x \mid$充分大时）有定义，如果对$\forall B(however \ great \ B \ is)$，都存在$\delta > 0(or \ \exists M > 0)$，使得当$0 < \mid x - x_0 \mid < \delta(or \ \mid x \mid > M)$时有
   $$
   \mid f(x) \mid >B
   $$
   成立，则称$f(x)$是当$x \to x_0(or \ x \to \infty)$时的无穷大。

   如果函数$f(x)$是无穷大，那么$f(x)$的极限是不存在的。
   也称“函数的极限是无穷大”

无穷大与无穷小之间的关系

1. 定理 4:在自变量的同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大，则$\frac{1}{f(x)}$为无穷小；反之…。
2. 定义 3:如果函数$f(x)$满足$\lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)}=\infty \ or \ \lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)}=\infty$，则称直线$x=x_0$是函数$f(x)$的图形的一条铅直渐近线。

1.5 极限运算法则

1. 定理 1:如果在自变量同一变化的过程中，$\lim{f(x)}=A,\lim{g(x)}=B$，那么：

   • $\lim{[f(x) \pm g(x)]} = \lim{f(x)} \pm \lim{g(x)} = A \pm B$

     有限个无穷小的和是无穷小

   • $\lim{[f(x) \cdot g(x)]} = \lim{f(x)} \cdot \lim{g(x)} = A \cdot B$ - $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{\lim{f(x)}}{\lim{g(x)}} = \frac{A}{B}(B \neq 0)$

     有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

     常数与无穷小的乘积是无穷小；

     有限个无穷小的乘积是无穷小；

   • 若有$B \neq 0$，$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$

     推论 1:如果$\lim{f(x)}$存在，而$c$为常数，则$$\lim{[cf(x)]} = c\lim{f(x)}$$
     推论 2:如果$\lim{f(x)}$存在，而$n \in \mathbb{Z^*}$，则$$\lim{[f(x)]^n} = [\lim{f(x)}]^n$$

2. 定理 2:设有数列${x_n}$和${y_n}$，如果：

   $$
   \lim\limits_{n \to \infty}{x_n} = A,
   \lim\limits_{n \to \infty}{y_n} = B,
   $$

   那么:

   • $\lim\limits_{n \to \infty}{(x_n + y_n)} = A \pm B;$
   • $\lim\limits_{n \to \infty}{(x_n \cdot y_n)} = A \cdot B$
   • 当$y_n \neq 0(n=1,2,\cdots)$且$B \neq 0$时，$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{A}{B}.$

3. 定理 3:如果$\varphi(x) \geqslant \psi(x)$，而$\lim \varphi(x)=A,\ \lim\psi(x)=B$，那么$A \geqslant B$。

4. 定理 4:（复合函数的极限运算法则） 设复合函数$y=f[g(x)]$（有定义）。若$\lim\limits_{x \to x_0}{g(x)} = u_0, \lim\limits_{u \to u_0}{f(u)} = A$，且在$x_0$的某去心邻域内$g(x) \neq u_0$，则
   $$
   \lim\limits_{x \to x_0}{f[g(x)]} = \lim\limits_{u \to u_0}{f(u)} = A
   $$

1.6 极限存在准则 两个重要极限

夹逼准则

如果数列${x_n},\ {y_n},\ {z_n}$满足以下条件：

1. 从某项起，即$\forall n_0 \in \mathbb{N}_+$，当$n>n_0$时有：$y_n \leqslant x_n \leqslant z_n$
2. $\lim\limits_{n\to \infty}y_n=a,\ \lim\limits_{n\to \infty}z_n=a$

那么数列${x_n}$的极限存在，且$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。

如果函数$f(x),g(x),h(x)$满足下列条件：

• 在$x_0$的某一去心邻域内$x_0\in\mathring U(x_0,\ r)$，或者$|x|>M$时： $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x);$
• $\lim\limits_{x \to x_0}{g(x)} = A,\lim\limits_{x \to x_0}{h(x)} = A.$

那么$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$存在，且$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A.$

定理 2:单调有界函数必有极限。

柯西极限存在准则

（柯西收敛原理）数列${x_n}$收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正整数$N$，使得当$m>N,\ n>N$时有：

$$
|x_n-x_m| < \epsilon
$$

重要极限

1. $\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}}=1$

2. $\lim\limits_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} = e$ 另一种形式： $\lim\limits_{z \to 0}{(1+z)^\frac{1}{z}} = \lim\limits_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x} = e$

3. 如果$\lim{f(x)} = A,\lim{g(x)} = B$，那么
   $$
   \lim{[f(x)]^{g(x)}} = A^B
   $$

1.7 无穷小的比较

1. 定义 1:设$\alpha,\beta$是自变量在同一变化过程中的无穷小，且$\beta \neq 0,\lim{\frac{\alpha}{\beta}}$也是在同一过程中的极限。

   • 如果$\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = 0$，则称$\alpha$是比$\beta$高阶的无穷小，记作$\alpha = o(\beta)$；
   • 如果$\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = \infty$，则称$\alpha$是比$\beta$低阶的无穷小；
   • 如果$\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = c \neq 0$，则称$\alpha$是比$\beta$同阶无穷小；
   • 如果$\lim{\frac{\alpha}{\beta^k}} = c \neq 0,k > 0$，则称$\alpha$是关于$\beta$的$k$阶无穷小；
   • 如果$\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = 1$，则称$\alpha$与$\beta$是等价无穷小，记作$\alpha \sim \beta$

   等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形：$c=1$

2. 定理 1:$\alpha$与$\beta$是等价无穷小的充分必要条件为$\alpha = \beta + o(\beta)$.

3. 定理 2:若$\alpha \sim \alpha’$，且$\beta \sim \beta’$，则：

   $$
   \lim{\frac{\alpha}{\beta}} = \lim{\frac{\alpha^\prime}{\beta^\prime}}.
   $$

4. 求两个无穷小之比时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，从而简化计算。

5. 几个等价无穷小：

• $x \to 0$时：

  $\sin x \sim x,\ \tan x \sim x,\ \arcsin x \sim x,\ 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2,\ \arctan x \sim x,\ \ln(1+x) \sim x,\ e^x -1 \sim x,\ \sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x.$

1.8 函数的连续性与间断点

函数的连续性

1. 定义 1:$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)$。包含了三个含义：

   • $y=f(x)$在点$x_0$处有定义；
   • $y=f(x)$在点$x_0$处极限存在；
   • $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)$ 极限值等于函数值。

2. 多项式函数、有理函数在定义域内每一点都是连续的。

3. 定义 2:设$y=f(x)$在$\mathring U(x_0)$有定义，若当$\Delta x \to 0$时有$\Delta y \to 0$，

   $$
   \lim\limits_{\Delta x \to 0}{y} = 0 \quad or \quad
   \lim\limits_{\Delta x \to 0}{[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]} = 0
   $$

   就称$f(x)$在点$x_0$处连续。

   对于函数$y=\sin x$在区间$(-\infty,+\infty)$内：

   在任意一点$x_0$处有

   $$
   0 < \mid sinx-sinx_0 \mid =
   2 \left | cos\frac{x+x_0}{2} \right | \left | sin\frac{x-x_0}{2} \right |
   \leqslant \mid x - x_0 \mid
   $$

4. 如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0^-)$存在且等于$f(x_0)$，即：$f(x_0^-)=f(x_0)$。那么说函数$f(x)$在点$x_0$左连续。

5. 如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0^+)$存在且等于$f(x_0)$，即：$f(x_0^+)=f(x_0)$。那么说函数$f(x)$在点$x_0$右连续。

6. 定理 1:$y=f(x)$在点$x_0$连续的充分必要条件是$y=f(x)$在点$x_0$既左连续，又右连续。连续函数的图形是一条不间断的曲线。

函数的间断点

设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心领域内有定义，在此前提下，如果有以下三种情形之一：

1. 在$x=x_0$没有定义
2. 虽在$x=x_0$处有定义，但$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$不存在
3. 虽在$x=x_0$处有定义，且$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在，但$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) \neq f(x_0)$

那么函数$f(x)$在点$x_0$为不连续，而点$x_0$称为函数的不连续点或间断点。

常见间断点的类型：

1. 第一类间断点：左极限、右极限都存在。
   • 可去间断点：$e.g:f(x)=\frac{\sin x}{x},x=0;\ \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1.$
   • 跳跃间断点：$e.g.:f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \ x, & x \geqslant 1 \end{cases}; \ \lim\limits_{x \to 1^-}{f(x)}=2, \ \lim\limits_{x \to 1}{f(x)=1.}$
2. 第二类间断点：左极限、右极限不都存在（非第一类间断点）。
   • 无穷间断点：$e.g.:f(x)=\frac{1}{x^2}; \ \lim\limits_{x \to 0}{f(x)}=\infty.$
   • 震荡间断点：$e.g.:f(x)=\sin \frac{1}{x}; \ \lim\limits_{x \to 0}{f(x)} \in [-1,1].$

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

若函数$f(x),g(x)$都在点$x_0$处连续，则函数$f(x) \pm g(x),f(x) \cdot g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0) \neq 0)$也在$x_0$处连续。

反函数与复合函数的连续性

如果函数$y=f(x)$在某个区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数$x=f^{-1}(y)$也在相应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。

设函数$u=\varphi(x)$在点$x_0$处连续且$\varphi(x)=u_0$，而函数$y=f(u)$在点$u_0$处连续，则复合函数$y=f[\varphi(x)]$在点 $x_0$处也连续；

$$
y = f[\varphi(x)],\ \mathring U (x_0)\subset D_{f\circ\varphi},\ \lim\limits_{x\to x_0}\varphi(x)=u_0,\quad y=f(u)在u=u_0连续\
\lim\limits_{x\to x_0}f[\varphi(x)]=\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)
$$

初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的。

对于形如$u(x)^{v(x)}\quad (u(x)>0,\ u(x) \not\equiv 1)$的函数，称为幂指函数，如果：

$$
\lim u(x)=a > 0,\ \lim v(x)=b
$$

那么：

$$
\lim u(x)^{v(x)}=a^b
$$

1.10 闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值和最小值定理

定理 1:（有界性与最大值和最小值定理） 闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定存在最大值和最小值。

如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有界，也不一定有最大值最小值。(e.g. $y=\tan x$)

零点定理和介值定理

如果$x_0$使$f(x_0)=0$，那么$x_0$称为函数$f(x)$的零点。（零点不是点）

（零点定理） 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续且$f(a)$与$f(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi(a<\xi <b)$，使$f(\xi)=0.$

（介值定理） 设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，并且在区间端点取不同的函数值$f(a)=A,f(b)=B$，那么对于$A$和$B$之间的任意一个数$W$ ，在开区间$(a,b)$内至少存在一个点$\xi$，使得$f(\xi)=W.\ (a<\xi<b)$

推论：在闭区间上连续的函数必能够取到介于最大值$M$与最小值$m$之间的任何值。

一致连续性

设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，如果对于任一给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得对于区间$I$上的任意两点$x_1,\ x_2$，当$|x_1 - x_2| < \delta$，时有：

$$
|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon
$$

那么称函数$f(x)$在区间$I$上一致连续。

（一致连续性定理）如果函数$f(x)$在闭区间$[a,\ b]$上连续，那么它在该区间上一致连续。

1.10-1 求极限的方法总结

定义法

$$
\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A \Leftrightarrow
\forall \epsilon > 0 ,\exists \delta > 0, 当0<\mid x-x_0\mid < \delta, 总有\mid f(x) - A \mid < \epsilon
$$

$$
\lim\limits_{x\to \infty}{f(x)}=A \Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists X>0
当 \mid x \mid >X 时, 总有\mid f(x)-A\mid <\epsilon
$$

夹逼定理

1. 设在点$x_0$的某领域内（或$\mid x\mid>M$），有$g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$，且$\lim g(x)=A,\lim h(x)=A$，那么$\lim f(x)$存在且等于$A$。
2. 单调有界函数必有极限。

无穷小量的代换

$\sin x \sim x$	$\tan x \sim x$
$\arcsin x \sim x$	$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
$(1+x)^\lambda -1 \sim \lambda x$	$\arctan x \sim x$
$\ln(1+x)\sim x$	$e^x -1 \sim x$

函数的连续

若函数在$U(x_0)$处连续，则$\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$

洛必达法则

对于$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$未定式使用合适的变换后分子分母求导

泰勒展开

常用函数的麦克劳林公式
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^n)$
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n)$
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2!}x^2+\cdots +\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

---

二. 导数与微分

2.1 导数的概念

导数的概念

定义：函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个领域内有定义，当自变量在$x_0$处取得增量$\Delta x$，相应地因变量取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x \to 0$时的极限存在，那么称函数$f(x)$在点$x_0$处可导，这个极限为在这点的导数，记为：$f’(x_0)$，即：

$$
F^\prime(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \lim\limits_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}
$$

也可以记作：

$$
y’\vert_{x=x_0}, \ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\vert_{x=x_0},\ \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\vert_{x=x_0}
$$

$y’$记号来自牛顿，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$记号来自莱布尼兹。

如果函数$y=f(x)$在开区间$I$内每点处都可导，那么就称函数$f(x)$在开区间$I$内可导。$f(x)$的导函数$y’,\ f’(x),\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\ \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$。

导数的几何意义：曲线$y=f(x)$在点$M(x_0, f(x_0))$处的切线方程为：$y-y_0=f’(x_0)(x-x_0)$

单侧导数

1. 定义：设函数$y=f(x)$在$U(x_0)$有定义，左导数：
   $$
   f^\prime_{-}(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}
   $$
   右导数：
   $$
   f^\prime_{+}(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}}{\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}
   $$
   如果函数$f(x)$在开区间$(a,\ b)$内可导，且$f’+(a),\ f’-(b)$都存在，那么：$f(x)$在闭区间$[a,\ b]$上可导。

函数可导性与连续性的关系

函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充分必要条件是：左右导数存在且相等。

如果函数$f(x)$在$x_0$处可导，则$f(x)$在$x_0$处连续。

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

2.2 导数的运算法则及基本公式

导数的运算法则

如果函数$u=u(x)$及$v=v(x)$都在点$x$处可导，那么：

• $[u(x) \pm v(x)]’ = u’(x) \pm v’(x)$
• $[u(x) v(x)]’ = u’(x)v(x)+u(x)v’(x)$
• $\left[\frac{u(x)}{v(x)} \right]’ = \frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{v^2(x)}(v(x) \neq 0)$
• $(u+v-w)’=u’+v’-w’$
• $(uvw)’=[(uv)w]’=(u’v+uv’)w+uvw’=u’vw+uv’w+uvw’$

（反函数的求导）如果函数$x=f(y)$在区间$I_y$内单调、可导且$f’(y)\neq 0$，则它的反函数$y=f^{-1}(x)$在区间$I_x={x\mid x=f(y),y \in I_y}$内也可导，且

$$
[f^{-1}(x)]^\prime = \frac{1}{f^\prime(y)}
$$

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

（复合函数的求导）如果$u=g(x)$在点$x$可导，而$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，其导数为：

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f’(u)\cdot g’(x)
$$

运算公式

1. 导数公式：

   L1	L2
   $C’=0;$	$(x^\mu)’ = \mu x^{\mu -1};$
   $(\sin x)’=\cos x;$	$(\cos x)’=-\sin x;$
   $(\tan x)’=\sec ^2x$	$(\cot x)’=-\csc^2x$
   $(\sec x)’ = \sec x\tan x$	$(\csc x)’=-\csc x\cot x$
   $(a^x)’=a^x\ln a$	$(e^x)’=e^x$
   $(\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a}$	$(\ln x)’=\frac{1}{x}$
   $(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
   $(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}$	$(\mathrm{arc}\cot x)’=-\frac{1}{1+x^2}$
   $(u \pm v)’ = u’\pm v’$	$(Cu)’ = Cu’$
   $(uv)’ = u’ v+uv’$	$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’ v-uv’}{v^2}$

2.3 高阶导数

定义：设函数$y=f(x)$的导函数在点$x$处可导，就称$y=f(x)$在点$x$处二阶可导，此导数称为二阶导数，记作$y^{“},f^{“}(x)$即：

$$
f^{\prime\prime}(x)=[f^\prime(x)]^\prime, \ \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)
$$

函数$y=f(x)$具有$n$阶导数，也说称函数$f(x)$为$n$阶可导，二阶与二阶以上的导数统称为高阶导数。

常见高阶导数公式

• $(e^{kx})^{(n)}=k^ne^{kx}$
• $(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}$
• $(\sin x)^{(n)}=\sin (x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
• $(\cos x)^{(n)}=\cos (x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
• $[\ln(x+1)]^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x+1)^n}$
• $(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$ （莱布尼兹公式）

2.4 隐函数与参数方程导数

隐函数求导

隐函数求导的基本方法：把方程$F(x,y)=0$中的$y$看作是$x$的函数，方程两端同时对$x$求导，然后解出$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}.$

对数求导法：$e.g.:y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}.$两边取对数:

$$
\ln y=\frac{1}{2}(\ln \mid x-1\mid + \ln \mid x-2 \mid-\ln \mid x-3 \mid-\ln \mid x-4 \mid)
$$

可以证明：$(\ln\mid x\mid)’=\frac{1}{x}$

参数方程求导

有参数方程：$\begin{equation}\left{\begin{aligned} x&=\varphi(t)\ y&=\psi(t) \end{aligned}\right.\end{equation}$

$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}
$$

相关变化率

两个变量都与另一个变量相关:

1. 例：当金属圆盘在炉中加热时，圆盘半径$r$会随时间$t$增大，圆盘的面积$S$也会随着时间$t$增大，有：$S=\pi r^2$，方程两边同时对$t$求导，有：
   $$
   \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} = 2\pi r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}
   $$
   上式$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$与$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$就是互相关联的变化率。

2.5 函数的微分

微分的定义

设函数$y=f(x)$在某区间有定义，$x_0$及$x_0+\Delta x$在这区间内，如果函数的增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x)$可表示为：

$$
\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),
$$

就称函数$y=f(x)$在点$x_0$处是可微的，并称$A\Delta x$为函数$y=f(x)$在点$x_0$的微分，记作$\mathrm{d}y$，即：

$$
\mathrm{d}y=A\Delta x
$$

函数$f(x)$在任意点的微分，称为函数的微分，记作$\mathrm{d}y,\ \mathrm{d}f(x)$

同城通常把自变量$x$的增量$\Delta x$称为自变量的积分，记作$\mathrm{d}x$，于是函数的微分可记作：$\mathrm{d}y=f’(x)\mathrm{d}x$

定理：函数$f(x)$在点$x_0$可微的充分必要条件是函数$f(x)$在点$x_0$可导，且此时$\mathrm{d}y=f’ (x_0)\Delta x.$

函数的导数等于函数的微分$\mathrm{d}y$与自变量$\mathrm{d}x$的商：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f’(x).$因此，导数又称微商。

微分的基本公式和运算法则

基本公式
$\mathrm{d}(x^\mu)=\mu x^{\mu-1}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\sin x)=\cos x\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\tan x)=\sec^2 x\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\cot x)=-\csc^2 x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\sec x)=\sec x\tan x \mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\csc x)=-\csc x \cot x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(a^x)=a^x\ln a\mathrm{d}x\ (a > 0, a \neq 1)$
$\mathrm{d}(e^x)=e^x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\log_a x)=\frac{1}{x\ln a}\mathrm{d}x\ (a>0,a\neq 1)$
$\mathrm{d}(\ln x)=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\arccot x)=-\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$

运算法则
$\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm \mathrm{d}v$	$\mathrm{d}(Cu)=C\mathrm{d}u$
$\mathrm{d}(uv)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v$	$\mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\mathrm{d}u-u\mathrm{d}v}{v^2}$

复合函数的微分

复合函数的微分法则：无论$u$是自变量还是中间变量，微分形式$\mathrm{d}y=f’(u)\mathrm{d}u$保持不变。这一性质叫做微分形式不变性。例：$y=\sin(2x+1),\mathrm{d}y=?$

$$
\mathrm{let} \ u=2x+1;\ \mathrm{d}y=\mathrm{d}(\sin u)=\cos u\mathrm{d}u=\cos(2x+1)\mathrm{d}(2x+1) \ =\cos(2x+1)\cdot 2\mathrm{d}x=2\cos(2x+1)\mathrm{d}x
$$

近似计算

如果$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f’(x_0)\neq 0$，且$|\Delta x|$很小时，有：

$$
\Delta y \approx \mathrm{d}y=f’(x_0)\Delta x
$$

误差估计

如果某个量的精确值为$A$，它的近似值为$a$，那么$|A-a|$叫做$a$的绝对误差，而$\frac{|A-a|}{|a|}$叫做$a$的相对误差。又知道它的误差不超过$\delta_A$：

$$
\mid x-x_0\mid \leqslant \delta_A
$$

称$\delta_A$为$A$的绝对误差限，而称$\frac{\delta_A}{\mid a\mid}$为$x$的相对误差限。

---

三. 中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理

罗尔定理

费马引理：设函数$f(x)$在点$x_0$的某领域$U(x_0)$内有定义，并且在$x_0$处可导，如果对任意$x\in U(x_0)$，有$f(x)\leqslant f(x_0) \ or \ f(x)\geqslant f(x_0)$那么$f’(x_0)=0.$

（罗尔定理） 如果函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间$[a, b]$上连续；
2. 在开区间$(a, b)$内可导；
3. 在区间端点处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$

那么在$(a, b)$内至少存在一点$\xi(a<\xi <b)$，使得函数$f(x)$在该点的导数等于零，即$f’(\xi)=0.$

拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间$[a, b]$上连续；
2. 在开区间$(a, b)$内可导；

那么在$(a, b)$内至少存在一点$\xi(a<\xi<b)$，使得：

$$
f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)
$$

即拉格朗日中值公式（有限增量定理）（微分中值定理）

有限增量公式：$\Delta y=f’(x+\theta\Delta x)\cdot \Delta x \ (0<\theta<1)$。

定理：如果函数$f(x)$在区间$I$上连续且可导，导数恒为零，那么$f(x)$在区间$I$上是一个常数。

拉格朗日中值定理的证明

// Todo

柯西中值定理

如果函数$f(x)$及$F(x)$满足：

1. 在闭区间$[a, b]$上连续；
2. 在开区间$(a, b)$内可导；
3. 在$(a, b)$内每一点处$F’(x)\neq 0.$

则在$(a, b)$内至少存在一点$\xi(a<\xi<b)$，使得

$$
\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^\prime(\xi)}{F^\prime(\xi)}
$$

柯西中值定理的证明

// Todo

3.2 洛必达法则

洛必达法则定义定理

定义：如果当$x\to a(x \to \infty)$时，两个函数$f(x) | F(x)$都趋于零或都趋于无穷大，那么极限$\lim\limits_{x\to a(\infty)}{\frac{f(x)}{F(x)}}$可能存在或不存在。通常把这种极限叫做未定式。

分别简记为：$\frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty}$

定理：如果函数$f(x) | F(x)$满足如下条件：

1. 当$x \to a$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零；
2. 在点$a$的去心领域内$f(x)|F(x)$可导，且$F’(x)\neq 0$；
3. $\lim\limits_{x \to a}{\frac{f’(x)}{F’(x)}}$存在（或为无穷大）。

那么

$$
\lim\limits_{x \to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim\limits_{x \to a}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}.
$$

注意：在运用洛必达法则求极限时，最好与其他方法结合使用（等价无穷小替换）

定理：如果函数$f(x) | F(x)$满足如下条件：

(1) 当$x \to \infty$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零；

(2) 当$\mid x \mid>N$时，$f’(x)$及$F’(x)$都存在且$F’(x)\neq 0$；

(3) $\lim\limits_{x \to a}{\frac{f’(x)}{F’(x)}}$存在（或为无穷大）。

那么

$$
\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{f^\prime(x)}{F^\prime(x)}}.
$$

洛必达法则的证明

// Todo

其他形式的未定式

1. $0\cdot\infty$：

   $$
   e.g.:\lim\limits_{x\to0^+}{\sqrt{x}\ln x}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt{x}}}} =\lim\limits_{x \to 0^+}{\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}}}=\lim\limits_{x\to 0^+}{(-2\sqrt{x})}=0
   $$

2. $\infty-\infty$：

   $$
   e.g.\lim\limits_{x\to 0}{\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)}=\lim\limits_{x\to 0}{\frac{x-\sin x}{x\sin x}} =\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin x}{2\cos x-x\sin x}}=0
   $$

3. $0^0$：
   $$
   e.g.\lim\limits_{x\to 0^+}{x^x}=\lim\limits_{x\to 0^+}{e^{x\ln x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0^+}{x\ln x}}=e^0=1
   $$

当$\lim{\frac{f’(x)}{F’(x)}}$不存在时，$\lim{\frac{f(x)}{F(x)}}$仍可能存在。

3.3 泰勒公式

问题的提出

• 用高次多项式来近似表示函数

• 用$a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \dots a_n$系数来近似函数的$n$阶导数。

• $e^x\approx 1+x$,$\ln(1+x)\approx x$

泰勒中值定理

（泰勒中值定理 1）如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个领域，对领域内任一$x$，有：

$$
P(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)\frac{(x-x_0)^1}{1!}+f^{\prime\prime}(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!}+\cdots+f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}+R_n (x)
\tag{1}
$$

其中，

$$
R_n(x)=o\left((x-x_0)^n\right)
$$

（泰勒中值定理 2）如果函数$f(x)$在含有$x_0$的某个开区间$(a, b)$内具有$n+1$阶导数，则对任一$x \in (a, b)$，有：

$$
P(x)=f(x_0)+f^\prime(x_0)\frac{(x-x_0)^1}{1!}+f^{\prime\prime}(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2!}+\cdots+f^{(n)}(x_0)\frac{(x-x_0)^n}{n!}+R_n (x)
\tag{2}
$$

其中,

$$
R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi)\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} \ , \ \xi \in (x, x_0)
$$

余项的表示

• 拉格朗日型余项：$R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi)\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} \ , \ \xi \in (x, x_0)$

  当$n=0$时，泰勒公式(2)变成拉格朗日中值公式

• 佩亚诺型余项：$R_n(x)=o\left((x-x_0)^n\right)$

麦克劳林公式

$$
f(x)=f(x_0)+f^\prime(0)\frac{x^1}{1!}+f^{\prime\prime}(0)\frac{x^2}{2!}+\cdots+f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!}+f^{(n+1)}(\theta x)\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}
$$

如果取$x_0=0$，泰勒公式(1)有带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

$$
f(x)=f(0)+f’(0)x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+o(x^n)
$$

泰勒公式(2)变成带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

$$
f(x)=f(0)+f’(0)x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}\quad
(0<\theta<1)
$$

一些函数带有拉格朗日余项的$n$阶麦克劳林公式

$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{(n+1)}\quad (0 < \theta < 1)
$$

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}(x)\quad n=2m\
R_{2m}(x)=(-1)^m\frac{\cos\theta x}{(2m+1)!}x^{2m+1}\quad (0<\theta<1)
$$

$$
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}(x)\quad n=2m\
R_{2m+1}(x)=(-1)^{m+1}\frac{\cos\theta x}{(2m+2)!}x^{2m+2}\quad (0<\theta<1)
$$

$$
\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+R_{n}(x)\quad n=2m\
R_{n}(x)=\frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}}x^{n+1}\quad (0<\theta<1)
$$

$$
(1+x)^\alpha=
1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+R_n(x)\
R_n(x)=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(\alpha-n)}{(n+1)!}(1+\theta x)^{\alpha-n+1}x^{n+1}\quad
(0<\theta<1)
$$

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的单调性

定理：设函数$y=f(x)$在$[a,\ b]$上连续，在$(a,\ b)$内可导：

1. 如果在$(a,\ b)$内$f’(x)\geqslant0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数$y=f(x)$在$[a,\ b]$上单调增加
2. 如果在$(a,\ b)$内$f’(x)\leqslant0$，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数$y=f(x)$在$[a,\ b]$上单调减少

曲线的凹凸性与拐点

定义：设函数$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意两点$x_1, x_2$恒有：

• $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$则图形是凹的（凹弧）
• $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$则图形是凸的（凸弧）

定理：设$f(x)$在$[a,\ b]$上连续，在$(a,\ b)$内具有一阶和二阶导数，那么在$(a,\ b)$内：

• $f^”(x)>0$则图形在$[a, b]$上是凹的
• $f^”(x)<0$则图形在$[a, b]$上是凸的

拐点：曲线$y=f(x)$在经过点$\left((x_0,\ f(x_0)\right)$时，曲线凹凸性发生改变。即：$f^{“}(x)$符号发生变化的分界点。

具有二阶导数时$f^{“}(x)=0$也可能$f^{“}(x)$不存在的点。

3.5 函数的极值与最值

函数的极值及其求法

定义：设函数$f(x)$在$(a,\ b)$内有定义，$x_0 \in (a, b)$，若存在邻域$\mathring U(x_0,\ \delta)$，当$x \in \mathring U(x_0,\ \delta)$时总有$f(x)<f(x_0) \quad or \quad f(x0 > f(x_0)$，则称$f(x_0)$是$f(x)$的一个极大值或极小值。

极大值和极小值称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

（极值的必要条件）若函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，则$f’(x_0)=0$

（第一充分条件）设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的某去心领域$\mathring U(x_0,\ \delta)$内可导：

1. 若$x\in(x_0-\delta,\ x_0)$时，$f’(x)>0$，而$x\in(x_0,\ x_0+\delta)$时，$f’(x)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值
2. 若$x\in(x_0-\delta,\ x_0)$时，$f’(x)<0$，而$x\in(x_0,\ x_0+\delta)$时，$f’(x)>0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值
3. 若$x\in\mathring U(x_0,\ \delta)$时，$f’(x)$的符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处没有极值

（第二充分条件）设函数$f(x)$在$x_0$处具有二阶导数且$f’(x_0)=0,\ f’’(x_0)\neq 0$，则：

1. 当$f’’(x_0)<0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极大值
2. 当$f’’(x_0)>0$时，函数$f(x)$在$x_0$处取得极小值

求区间内的极值点和对应的极值

1. 求出导数$f’(x)$
2. 求出$f(x)$的全部驻点与不可导点
3. 考察$f’(x)$的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定是否为极值点；如果为极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点
4. 求出各极值点的函数值，就得函数$f(x)$的全部极值

最大值最小值问题

1. 求出$f(x)$在$(a,\ b)$内的驻点及不可导点
2. 计算$f(x)$在上述驻点、不可导点处的函数值及$f(a),\ f(b)$
3. 比较(2)中各值的大小，其中最大、最小的便是$f(x)$在$[a,\ b]$上的最大值，最小值

3.6 函数图形的描绘

列表

$x$	区间 1	间断点	区间 2	间断点	区间 3
$f’(x)$	$\pm$	$0$或无	$\pm$	$0$或无	$\pm$
$f’’(x)$	$\pm$	$0$或无	$\pm$	$0$或无	$\pm$
$y=f(x)$图形	$\nearrow\searrow$	拐点	$\nearrow\searrow$	间断点	$\nearrow\searrow$

3.7 曲率

---

弧微分

设$x,\ x+\Delta x$为$(a,\ b)$内两个邻近的点，它们在曲线$y=f(x)$上对应的点为$M,\ M’$，对应$x$的增量为$\Delta x$，弧$s$的增量为$\Delta s$，那么：$\Delta s=\overset{\LARGE{\frown}}{M_0M’}-\overset{\LARGE{\frown}}{M_0M}=\overset{\LARGE{\frown}}{MM’}$

弧微分公式：

$$
\mathrm{d}s=\sqrt{1+y’^2}\ \mathrm{d}x
$$

曲率及其计算公式

设曲线$C$是光滑的，曲线上点$M$对应于弧$s$，在点$M$处切线的倾角为$\alpha$，曲线上点$M’$对应于弧$s+\Delta s$，在点$M$处切线的倾角为$\alpha+\Delta\alpha$，弧段$\overset{\LARGE{\frown}}{MM’}$的长度为$|\Delta s|$，动点$M$移动到$M’$时的切线转过的角度为$|\Delta\alpha|$

• 平均曲率，记作$\overset{-}{K}$，即：$\overset{-}{K}=\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|$

• 平均曲率的极限，叫做曲率：$K=\lim\limits_{\Delta s\to 0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|=\left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right|$

• 曲率的计算式（由参数方程）

  $$
  \begin{equation}
  \left{
  \begin{aligned}
  x&=\varphi(t)\
  y&=\psi(t)
  \end{aligned}
  \right.
  \end{equation}
  $$

  $$
  K=\frac{|y’’|}{(1+y’^2)^{3/2}} =
  \frac{|\varphi’(t)\psi’’(t)-\varphi’’(t)\psi’(t)|}{[\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)]^{3/2}}
  $$

曲率圆与曲率半径

曲率为$K$，在点$M$处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点$D$，使$|DM|=\frac{1}{K}=\rho$，这个圆叫做曲线在点$M$处的曲率圆，$D$为曲率中心，$\rho$ 为曲率半径，有如下关系：

$$
\rho=\frac{1}{K},\ K=\frac{1}{\rho}
$$

3.8 方程的近似解

二分法

设$f(x)$在区间$[a,\ b]$上连续，$f(a)\cdot f(b)<0$，且方程$f(x)=0$在$(a,\ b)$内仅有一个实根$\xi$，于是$[a,\ b]$即是这个根的一个隔离区间。

取$[a,\ b]$的中点$\xi_1=\frac{a+b}{2}$，计算$f(\xi_1)$：

• 如果$f(\xi_1)=0$，那么$\xi=\xi_1$；
• 如果$f(\xi_1)$与$f(a)$同号，取新的隔离区间：$[\xi_1,\ b]$；
• 如果$f(\xi_1)$与$f(b)$同号，取新的隔离区间：$[a,\ \xi_1]$

重复计算，得$a_n<\xi<b_n$，如果将$a_n,\ b_n$作为近似值，误差小于$\frac{1}{2^n}(b-a)$

切线法

设$f(x)$在区间$[a,\ b]$上具有二阶导数，$f(a)\cdot f(b)<0$且$f’(x)$及$f’’(x)$在$[a,\ b]$上保持定号。于是方程在$(a,\ b)$上有唯一实根$\xi$，$[a,\ b]$即是这个根的一个隔离区间。

考虑用曲线弧一段的切线代替曲线弧，令$x_0=b$，在这点切线方程为:$y-f(x_0)=f’(x_0)(x-x_0)$；令$y=0$得$x$轴切线交点横坐标：$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f’(x_0)}$。

$x_1$比$x_0$就更加接近根$\xi$，多次计算切线与$x$轴交点，可得近似值：

$$
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f’(x_n)}
$$

割线法

通过割线代替切线，避免计算导数。此时迭代公式为：

$$
x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\cdot f(x_n)
$$

---

四. 不定积分

4.1 不定积分的概念与性质

不定积分的概念

定义：若$F’(x)=f(x),x \in I$，或者$\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x$，则称$F(x)$是$f(x)$在区间$I$上的原函数。

定理：连续函数一定有原函数，即：$F’(x)=f(x)$。如果$f(x)$有一个原函数，这一定有无穷多个原函数$F(x)+C$

定义：区间$I$上$f(x)$的原函数的全体，称为$f(x)$的不定积分，记为$\int f(x)\mathrm{d}x$

积分表

• $$
  \int k\mathrm{d}x=kx+C\quad k是常数
  \tag{1}
  $$

• $$
  \int x^\mu\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\quad (\mu \neq -1)
  \tag{2}
  $$

• $$
  \int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C
  \tag{3}
  $$

• $$
  \int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C
  \tag{4}
  $$

• $$
  \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C
  \tag{5}
  $$

• $$
  \int\cos x\mathrm{d}x=\sin x+C
  \tag{6}
  $$

• $$
  \int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C
  \tag{7}
  $$

• $$
  \int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2 x}=\int\sec^2x\mathrm{d}x=\tan x+C
  \tag{8}
  $$

• $$
  \int\frac{\mathrm{d}x}{\sin^2x}=\int\csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C
  \tag{9}
  $$

• $$
  \int\sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C
  \tag{10}
  $$

• $$
  \int\csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C
  \tag{11}
  $$

• $$
  \int e^x\mathrm{d}x=e^x+C
  \tag{12}
  $$

• $$
  \int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C
  \tag{13}
  $$

-

不定积分的性质

线性性质：设$f(x),\ g(x)$的原函数都存在，$k$为非零参数

$$
\int[f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x
$$

$$
\displaystyle{\int}\sum\limits_{i=1}^{n}[k_if_i(x)]\mathrm{d}x = \sum\limits_{i=1}^{n}k_i\displaystyle{\int}f_i(x)\mathrm{d}x
$$

积分形式的不变性：设$u=u(x)$是$x$的任一可微函数，

$$
\displaystyle{\int}f(x)\mathrm{d}x = F(x)+c \Leftrightarrow
\displaystyle{\int}f(u)\mathrm{d}u = F(u)+c
$$

求导与积分运算的关系：

1. 先积分后微分，两者互相抵消

   $$
   \mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x \ or
   [\int f(x)\mathrm{d}x]’=f(x)
   $$

2. 先微分后积分，相互抵消后相差一个常数
   $$
   \int\mathrm{d}F(x)=F(x)+c \ or
   \int F’(x)\mathrm{d}x=F(X)+c
   $$

原函数存在的充分条件：若$f(x)$在区间$I$上连续，则$f(x)$在$I$上存在原函数，即$f(x)$在$I$上可积。

4.2 换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

定理：设$f(u)$具有原函数，$u=\varphi(x)$可导，则有换元公式：

$$
\int f[\varphi(x)]\varphi’(x)\mathrm{d}x=\left[\int f(u)\mathrm{d}u \right]_{u=\varphi(x)}
$$

设，需要求$\int g(x)\mathrm{d}x$，函数化为：$g(x)=f[\varphi(x)]\varphi’(x)\mathrm{d}x$的形式，那么

$$
\int g(x)\mathrm{d}x=\left[\int f(u)\mathrm{d}u \right]_{u=\varphi(x)}
$$

转化为求函数$f(u)$的积分。

常见形式：

1. $\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\ln x$
2. $e^x\mathrm{d}x = \mathrm{d}e^x$
3. $\cos x\mathrm{d}x = \mathrm{d}\sin x$
4. $x^n\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}\mathrm{d}x^{n+1}$

第二类换元法

定理：设$x=\psi(t)$是单调的可导函数，并且$\psi’(t)\neq 0$。又设$f[\psi(t)]\psi’(t)$具有原函数，则有换元公式：

$$
\displaystyle{\int}f(x)\mathrm{d}x=\left[\int f[\psi(t)]\psi’(t)\mathrm{d}t \right]_{t=\psi^{-1}(x)}
$$

其中$\psi^{-1}(x)$为$x=\psi(t)$的反函数

方法：

1. 根式代换

   形如$\displaystyle{\int} R(x, \sqrt[n]{ax+b})\mathrm{d}x$的积分，可令$\sqrt[n]{ax+b}=t$.

   形如$\displaystyle{\int}R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\mathrm{d}x$的积分，可令$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$.

2. 三角代换

   被积函数含有$\sqrt{a^2-x^2} \quad \sqrt{a^2+x^2} \quad\sqrt{x^2-a^2}$等二次因子，可作三角代换

   $\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=a\sin t \Rightarrow a\cos t$

   $\sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow x=a\tan t \Rightarrow a\sec t$

   $\sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow x=a\sec t \Rightarrow a\tan t$

3. 倒代换

   用于消去被积函数分母前的变量因子$x^k\quad (k \in \mathbb{N})$

   常见形式：$\displaystyle{\int}\frac{p_n(x)}{x^k\sqrt{ax^2-bx+c}}\mathrm{d}x\quad a\neq 0,k \in \mathrm{N},p_n(x)$为$n$次多项式，且$n<k$，则可令$x=\frac{1}{t}$而消去因子$x^k$.

4.3 分部积分法

方法

设$u=u(x),v=v(x)$可导，则：

$$
\int uv’\mathrm{d}x = uv - \int u’v\mathrm{d}x
\
\int u\mathrm{d}v = uv-\int v\mathrm{d}u
$$

要求$\int v\mathrm{d}u$的积分比$\int u\mathrm{d}v$的积分容易求出。

常见类型

1. 降次型
2. 转换型
3. 循环型
4. 递推型
5. 抵消型

4.4 有理函数的积分

有理函数

两个多项式的商$\frac{P(x)}{Q(x)}$，称为有理函数，也称为有理分式。当$P(x)$次数小于$Q(x)$时，称为真分式，否则为假分式

有理函数积分一般步骤

1. 将有理假分式用多项式除法或凑项法化为整式与真分式之和。
2. 用比较系数法或赋值法确定真分式中的待定系数。
3. 求出整式及各部分分式的积分。

三角有理式的积分

• 对于$\displaystyle{\int}\frac{a\sin x+b\cos x}{a_1\sin x+b_1\cos x}\mathrm{d}x$可设

  $$
  a\sin x +b\sin x = A(a_1\sin x+b_1 \cos x)+B(a_1\sin x+b_1\cos x)’
  $$

  用待定系数法求出$A, B$然后裂项积分。

• 对于$\sqrt[n]{ax+b}$或$\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$，可以令此根式为$u$

4.5 积分表的应用

补充积分表

$$
\begin{aligned}
& \int \sin x \mathrm{d} x = -\cos x + C;\quad \int \cos x \mathrm{d}x =\sin x + C;\
& \int \tan x \mathrm{d}x = - \ln |\cos x| + C;\quad \int \cot x \mathrm{d}x = \ln |\sin x| + C;\
& \int \frac{\mathrm{d}x}{\cos x} = \int \sec x \mathrm{d}x = \ln |\sec x + \tan x| + C;\
& \int \frac{\mathrm{d}x}{\sin x} = \int \csc x \mathrm{d}x = \ln |\csc x - \cot x| + C;\
& \int \sec^{2} x \mathrm{d}x = \tan x + C; \int \csc^{2} x \mathrm{d}x = - \cot x + C;\
& \int \sec x \tan x \mathrm{d}x = \sec x + C; \int \csc x \cot x \mathrm{d}x = - \csc x + C.
\end{aligned}
\tag{1}
$$

$$
\begin{cases} \int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d}x = \arctan x + C, \ \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C & (a>0). \end{cases}
\tag{2}
$$

$$
\begin{cases} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d}x = \arcsin x + C, \ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{d}x = \arcsin \frac{x}{a} + C & (a>0). \end{cases}
\tag{3}
$$

$$
\begin{cases} \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \mathrm{d}x = \ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}) + C & (\text{常见 } a=1), \ \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \mathrm{d}x = \ln |x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}| + C & (|x|>|a|). \end{cases}
\tag{4}
$$

$$
\int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} \mathrm{d}x = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C \text{ } (\int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right| + C).
\tag{5}
$$

$$
\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{d}x = \frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + C \text{ } (a>|x| \geqslant 0).
\tag{6}
$$

$$
\begin{aligned}
&\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C \text{ } (\sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2}) \
&\int \cos ^{2} x \mathrm{d} x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2 x}{4}+C \text{ } (\cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}) \
&\int \tan ^{2} x \mathrm{d} x=\tan x-x+C \text{ } (\tan ^{2} x=\sec ^{2} x-1) \
&\int \cot ^{2} x \mathrm{d} x=-\cot x-x+C \text{ } (\cot ^{2} x=\csc ^{2} x-1)
\end{aligned}
\tag{7}
$$

---

五. 定积分

5.1 定积分的概念与性质

定积分问题举例

1. 曲边梯形的面积

   $A=\lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum\limits_{i=1}^n}f(\xi_i)\Delta x_i$

2. 变速曲线运动的路程

   $s=\lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum\limits_{i=i}^n}v(\tau_i)\Delta t_i$

定积分的定义

函数$f(x)$在区间$[a,\ b]$上有界，且将区间$[a,\ b]$分为$n$个小区间，每个小区间上任取一个点$\xi_i$函数值$f(\xi_i)$与小区间长度$\Delta x_i$的乘积的和（$S=\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$）的极限为函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的定积分（简称积分），记作$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$，即：

$$
\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=I=
\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i
$$

其中$f(x)$叫做被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$叫做被积表达式，$x$叫做积分变量，$a$叫做积分下限，$b$叫做积分上限，$[a, b]$叫做积分区间。

和式$\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$称为积分和，如果$f(x)$在$[a,\ b]$上定积分存在，那么说$f(x)$在$[a,\ b]$上可积。

定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。

定理：

1. 设$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，则$f(x)$在$[a, b]$上可积。
2. 设$f(x)$在区间$[a ,b]$ 上有界，且只有有限个间断点。则$f(x)$在$[a, b]$上可积。

定积分的近似计算

矩形法

采取把区间$[a,\ b]$等分的方法，每个小区间长为：$\Delta x=\frac{b-a}n$。在小区间$[x_{i-1},\ x_i]$上，取$\xi_i = x_{i-1}$，应有：

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b-a}n\sum\limits_{i=1}^n f(x_{i-1})
$$

取$\xi_i=x_i$得近似公式：

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\approx\frac{b-a}{n}(y_1+y_2+\cdots+y_n)
$$

梯形法

定积分的近似值：

$$
\begin{align}
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x &\approx\frac{b-a}n\left(\frac{y_0+y_1}2+\frac{y_1+y_2}2+\cdots+\frac{y_{n-1}+y_n}2\right)\
&=\frac{b-a}n\left(\frac{y_0+y_n}2+y_1+y_2+\cdots+y_{n-1}\right)
\end{align}
$$

抛物线法（辛普森法）

$$
\begin{align}
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x &\approx\frac{b-a}{3n}[(y_0+4y_1+y_2)+(y_2+4y_3+y_4)+\cdots+(y_{n-2}+4y_{n-1}+y_n)]\
&=\frac{b-1}{3n}[y_0+y_n+4(y_1+y_3+\cdots+y_{n-1})+2(y_2+y_4+\cdots+y_{n-2})]
\end{align}
$$

定积分的性质

补充两点规定：

1. 当$b=a$时，$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=0$
2. 当$a>b$时，$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x$

性质有：

1. 设$\alpha$与$\beta$为常数,则

   $$
   \displaystyle\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x =
   \alpha \int_a^b f(x)\mathrm{d}x+\beta\int_a^b g(x)\mathrm{d}x
   $$

   对于任意有限个函数线性组合也是成立的。

2. 设$a<c<b$，则：

   $$
   \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x =
   \int_a^c f(x)\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{d}x
   $$

   定积分对于积分区间具有可加性

3. 如果在区间$[a, b]$上$f(x)\equiv 1$，那么

   $$
   \displaystyle\int_a^b 1\mathrm{d}x =
   \int_a^b \mathrm{d}x = b - a
   $$

4. 如果在区间$[a, b]$上$f(x)\geqslant 0$，那么

   $$
   \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \geqslant 0 \quad (a<b)
   $$

5. 推论 1：如果在区间$[a, b]$上$f(x)\leqslant g(x)$，那么

   $$
   \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b g(x)\mathrm{d}x
   \quad (a<b)
   $$

6. 推论 2：$\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\right| \leqslant \displaystyle\int_a^b \mid f(x)\mid\mathrm{d}x \quad (a<b)$

7. 设$M$及$m$分别是函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的最大值及最小值，则

   $$
   m(b-a)\leqslant \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\leqslant M(b-a)
   $$

8. （定积分中值定理） 如果函数$f(x)$在积分区间$[a, b]$上连续，那么在$[a, b]$上至少存在一个点$\xi$，使得：
   $$
   \displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a) \quad (a \leqslant\xi\leqslant b)
   $$
   几何解释：在区间$[a,\ b]$上至少存在一点$\xi$，使得以区间$[a,\ b]$为底边、以曲线$y=f(x)$为曲边的曲边梯形的面积等于同底边高为$f(\xi)$的一个矩形的面积。按积分中值公式：
   $$
   f(\xi)=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x
   $$
   称为函数$f(x)$在区间$[a,\ b]$上的平均值。

5.2 微积分基本公式

积分上限函数及其导数

如果函数$f(X)$在区间$[a, b]$上连续，那么积分上限的函数

$$
\Phi(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\mathrm{d}t
$$

在$[a, b]$上可导，并且它的导数

$$
\Phi’(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\mathrm{d}t=f(x)
\quad (a \leqslant x \leqslant b)
$$

如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，那么函数

$$
\Phi(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t
$$

就是$f(X)$在$[a, b]$上的一个原函数。

牛顿-莱布尼茨公式

（微积分基本定理）（牛顿-莱布尼兹公式） 如果函数$F(X)$是连续函数$f(X)$在区间$[a, b]$上的一个原函数，那么

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = F(b)-F(a)
$$

或者写成：

$$
\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=[F(x)]_a^b
$$

5.3 定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

定理：假设函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，函数$x=\varphi(t)$满足条件：

1. $\varphi(\alpha)=a, , \varphi(\beta)=b;;$
2. $\varphi(t)$在$[a, b]$（或$[\beta, \alpha]$）上具有连续函数，且其值域$R_\varphi=[a, b]$（只要$f(x)在R_\varphi$上连续），

则有：（定积分的换元公式）

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi’(t)\mathrm{d}t
$$

注意：换元后的积分限随新元变化。

定积分的分部积分法

定积分的分部积分公式：

$$
\begin{align}
\int_a^b u(x)v’(x)\mathrm{d}x &=\left[u(x)v(x)-\int v(x)u’(x)\mathrm{d}x\right]_a^b \ &= [u(x)v(x)]_a^b - \int_b^b v(x)u’(x)\mathrm{d}x
\end{align}
$$

简记作：

$$
\int_a^b u\mathrm{d}v = [uv]_a^b - \int_a^bv\mathrm{d}u\
\int_a^b u\mathrm{d}v=[uv]_a^b - \int_a^b v\mathrm{d}u
$$

特别地，被积函数为奇函数，且定积分区间为对称区间，则：$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x = 0 \quad (a=-b)$.

5.4 反常积分

无穷限的反常积分

函数$f(x)$在无穷区间$[a, +\infty)$上的反常积分：

$$
\lim\limits_{t \to + \infty}\displaystyle\int_a^tf(x)\mathrm{d}x
$$

定义 1：设函数$f(x)$在区间$[a, + \infty)$上连续，如果极限$\lim\limits_{t \to + \infty}\displaystyle\int_a^tf(x)\mathrm{d}x$存在，那么称反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$发散。

类似地，$\lim\limits_{t \to -\infty}\displaystyle\int_t^bf(x)\mathrm{d}x$为函数$f(x)$在无穷区间$(-\infty, b]$上的反常积分。

设函数$f(x)$在区间$(-\infty, +\infty)$上连续，反常积分$\displaystyle\int_{-\infty}^0f(x)\mathrm{d}x$与反常积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$之和称为函数$f(x)$在无穷区间$(-\infty, +\infty)$上的反常积分，记为：$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$。如果两积分均收敛，则$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，其值为两分段反常积分的和，反之则发散。

无界函数的反常积分

如果函数$f(x)$在点$a$的任一邻域内部无界，那么点$a$称为函数$f(x)$的瑕点（无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。

定义 2：

1. 设函数$f(x)$在区间$(a, b]$上连续，点$a$为$f(x)$的瑕点，如果极限$\displaystyle\lim\limits_{t \to a^+}\int_t^b f(x)\mathrm{d}x$存在，那么称反常积分$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散。

2. 设函数$f(x)$在区间$[a, b)$上连续，点$b$为$f(x)$的瑕点，如果极限$\displaystyle\lim\limits_{t \to b^-}\int_a^t f(x)\mathrm{d}x$存在，那么称反常积分$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散。

3. 设函数$f(x)$在区间$[a,c)$及区间$(a, b]$上连续点$c$为$f(x)$的瑕点。反常积分$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\quad(3)=\displaystyle\int_a^cf(x)\mathrm{d}x\quad(1) +\int_c^bf(x)\mathrm{d}x\quad (2)$称为函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的反常积分。若(1)(2)均收敛，那么(3)收敛，(1)+(2)=(3)；否则称反常积分(3)发散。

5.5 反常积分的审敛法 $\Gamma$函数

无穷限反常积分的审敛法

定理：设函数$f(x)$在区间$[a,\ +\infty)$上连续，且$f(x)\geqslant0$，若函数：$F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$在$[a, +\infty)$上有界，则反常积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛。

定理（比较收敛原理） 设函数$f(x),\ g(x)$在区间$[a,\ +\infty)$上连续。如果$0\leqslant f(x)\leqslant g(x)\ (a\leqslant x<+\infty)$，且$\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm d x$收敛，那么$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$也收敛；如果$0\leqslant g(x)\leqslant f(x)\ (a\leqslant x<+\infty)$，且$\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm d x$发散，那么$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$也发散。

定理（比较审敛法 1） 设函数$f(x)$在区间$[a,\ +\infty)、 (a > 0)$上连续且$f(x)\geqslant 0$。如果存在常数$M>0, p>1$使得$f(x)\leqslant\frac M{x^p}\ (a\leqslant x < +\infty)$，那么反常积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$收敛；如果存在常数$N>0$，使得$f(x)\geqslant\frac Nx\ (a\leqslant x<+\infty)$，那么反常积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$发散。

定理（极限审敛法 1） 设函数$f(x)$在区间$[a,\ +\infty]$上连续，且$f(x)\leqslant 0$。如果存在常数$p>1$，使得$\lim\limits_{x\to +\infty}x^p f(x) = c<+\infty$，那么反常积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$收敛；如果$\lim\limits_{x\to+\infty}x f(x)=d>0$，那么反常积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$发散。

定理：设函数$f(x)$在区间$[a,\ +\infty)$上连续，如果反常积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm d x$收敛，那么反常积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$收敛。此定理称为满足绝对收敛。

无界函数的反常积分审敛法

定理（比较审敛法 2） 设函数$f(x)$在区间$(a,\ b]$上连续，且$f(x)\geqslant 0,\ x=a$为$f(x)$的瑕点。如果存在常数#=$M>0,q<1$使得$f(x)\leqslant \frac M{(x-a)^q}\ (a<x\leqslant b)$那么反常积分$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$收敛；如果存在常数$N>0$，使得$f(x)\geqslant\frac N{x-a}\ (a<x\leqslant b)$，那么反常积分$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$发散。

定理（极限审敛法 2） 设函数$f(x)$在区间$(a,\ b]$上连续，且$f(x)\geqslant 0,\ x=a$为$f(x)$的瑕点。如果存在常数$0<q<1$，使得$\lim\limits_{x\to a^+}(x-a)^q f(x)$存在，那么反常积分$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$收敛；如果$\lim\limits_{x\to a^+}(x-a)f(x)=d>0$那么反常积分$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$发散。

$\Gamma$函数

1. 递推公式 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\ (s>0)$

2. 当$s\to0^+$时，$\Gamma(s)\to +\infty$

3. $\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac\pi{\sin \pi s}\ (0<s<1)$

4. 在$\Gamma(s)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}\mathrm d x$中，作代换$x=u^2$，有$\Gamma(s)=2\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}u^{2s-1}\mathrm d u$

   令$s=\frac 1 2$得：$2\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\mathrm d u=\Gamma(\frac 1 2)=\sqrt\pi$

   从而得到概率论常用积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\mathrm d u=\frac{\sqrt\pi}2$

---

定积分的应用

6.1 定积分的元素法

一般地，如果某一实际问题中所求量$U$符合以下条件：

1. $U$是一个与变量$x$的变化区间$[a,\ b]$有关的量；
2. $U$对于区间$[a,\ b]$具有可加性，就是说可以吧$U$分成许多部分区间；
3. 部分量$\Delta U_i$的近似值可表示为$f(\xi_i)\Delta x_i$

那么就可以用定积分来表达$U$。

积分表达式的步骤是：

1. 选取一个积分变量$x$，并确定积分区间$[a,\ b]$；

2. 把区间$[a,\ b]$分成$n$个小区间，任一小区间记作$[x,\ x+\mathrm d x]$，$\Delta U$近似表示为连续函数在$x$处的值$f(x)$与$\mathrm d x$的乘积，称为量$U$的元素：

   $$
   \mathrm d U=f(x)\mathrm d x
   $$

3. 在区间上的定积分：
   $$
   U=\int_a^b f(x)\mathrm d x
   $$

6.2 定积分在几何学上的应用

平面图形的面积

1. 直角坐标
2. 极坐标

体积

1. 旋转体的体积
2. 平行截面面积已知的立体体积

平面曲线的弧长

定理：光滑曲线弧是可求长的

6.3 定积分在物理上的应用

变力沿直线所作的功

水压力

引力

---

七. 微分方程

7.1 微分方程的基本概念

定义：

1. 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。微分方程中出现未知函数的最高阶数，叫做微分方程的阶。
2. 找出满足微分方程的函数，带入微分方程后称为恒等式，这个函数称为微分方程的解。如果微分方程中含有任一常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
3. 设微分方程中的未知函数为$y=\varphi(x)$，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：$x=x_0$时$y=y_0$或写成$y|{x=x_0}=y_0$其中$x_0,\ y_0$都是给定值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：$y|{x=x_0}=y_0,\ y’|_{x=x_0}=y’_0$其中$x_0,\ y_0,\ y’_0$都是给定值。上述条件叫做初值条件。
4. 确定通解中任意常数之后，就得到了微分方程的特解。求微分方程满足初值条件的特解，叫做微分方程的初值问题。
5. 积分方程的解是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线

7.2 可分离变量的微分方程

一般地，如果一个一阶微分方程能写成

$$
g(y)\mathrm d y=f(x)\mathrm d x
\tag1
$$

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含$y$的函数和$\mathrm d y$，另一端只含$x$的函数和$\mathrm d x$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

设$y=\varphi(x)$是方程的解，带入上述方程得恒等式

$$
g[\varphi(x)]\varphi’(x)\mathrm d x=f(x)\mathrm d x
$$

将上式两端积分，并由$y=\varphi(x)$引进变量$y$，得

$$
\int g(y)\mathrm d y=\int f(x)\mathrm d x
$$

设$G(y),\ F(x)$为$g(y),\ f(x)$的原函数有

$$
G(y)=F(x) + C
\tag2
$$

(2)式叫做方程(1)的隐式通解。

7.3 齐次方程

齐次方程

如果微分方程可化成

$$
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\varphi \left(\frac y x\right)
$$

的形式，那么这方程为齐次方程

解题步骤

• 将方程转化为$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\varphi(\frac y x)$的形式
• 引入新的函数$u=\frac y x$
• 带入方程得，$y=ux,\ \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\varphi u$
• 得方程$\varphi(u)$
• 分离变量为$\frac{\mathrm d u}{\varphi(u)}=\frac{\mathrm d x}{x}$
• 两端积分得$\displaystyle\int\frac{\mathrm d u}{\varphi(u)}=\displaystyle\int\frac{\mathrm d x}x$
• 将$\frac y x$带入$u$得方程的通解

可化为齐次的方程

方程

$$
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1}
\tag 1
$$

当$c=c_1=0$时是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情形下，可以通过变换把它变成齐次方程。令

$$
x=X+h,\ y=Y+k
$$

其中$h, k$是待定的常数，于是

$$
\mathrm d x=\mathrm d X,\ \mathrm d y=\mathrm dY
$$

从而有

$$
\frac{\mathrm d Y}{\mathrm d X}=\frac{aX+bY+ah+bk+c}{a_1X+b_1Y+a_1h+c_1}
$$

如果对于方程组

$$
\begin{cases}
\begin{align}
ah&+bk+c=0,\
a_1h&+b_1k+c_1=0
\end{align}
\end{cases}
$$

的系数行列式

$$
\left|
\begin{array}
{cc}
a&b\
a_1&b_1
\end{array}
\right|\neq 0
$$

方程(1)可化为齐次方程

$$
\frac{\mathrm dY}{\mathrm dX}=\frac{aX+bY}{a_1X+b_1Y}
$$

求出这个齐次方程的通解后，将$X \rarr x-h,\ Y \rarr y-k$代换后得到方程(1)的通解。

当行列式等于零时，$h,\ k$无法求得，令$\frac {a_1}a=\frac{b_1}b=\lambda$，从而方程(1)写成：

$$
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\frac{ax+by+c}{\lambda(ax+by)+c_1}
$$

引入新变量$v=ax+by$，则

$$
\frac{\mathrm d v}{\mathrm d x}=a+b\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}
$$

方程(1)成为

$$
\frac 1 b\left(\frac{\mathrm dv}{\mathrm d x}-a\right)=\frac{v+c}{\lambda v+c_1}
$$

这是可分离变量的方程。

7.4 一阶线性微分方程

线性方程

方程

$$
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=P(x)y=Q(x)
\tag1
$$

叫做一阶线性微分方程。如果$Q(x)\equiv0$那么方程(1)成为齐次的，否则称为非齐次的。

为了求出非齐次方程的解，先换为齐次方程

$$
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}+P(x)=0
\tag2
$$

方程(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程，分离变量之后得

$$
\frac{\mathrm d y}y=-P(x)\mathrm d x
$$

两端积分积分得

$$
\ln|y|=-\int P(x)\mathrm d x+C_1\ \Downarrow \
y=Ce^{-\int P(x)\mathrm d x} (C \pm e^{C_1})
\tag3
$$

这是对应齐次线性方程(2)的通解。通过常数变易法求(1)的通解，将(3)中的$C\rarr u(x)$，即作变换

$$
y=ue^{-\int P(x)\mathrm d x}
\tag4
$$

于是

$$
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=u’e^{-\int P(x)\mathrm d x}-uP(x)e^{-\int P(x)\mathrm d x}
\tag5
$$

将(4)和(5)带入方程(1)得

$$
u’e^{-\int P(x)\mathrm d x}=Q(x),\ u’=Q(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}
$$

两端积分

$$
u=\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm d x}\mathrm dx+C
$$

把上式带入(4)得非齐次线性方程(1)的通解

$$
y=e^{-\int P(x)\mathrm d x}\left(\int Q(x) e^{\int P(x)\mathrm d}\mathrm d x +C\right)\
y=Ce^{-\int P(x)\mathrm dx}+e^{-\int P(x)\mathrm dx}\int Q(x)e^{\int P(x)\mathrm dx}\mathrm dx
$$

伯努利方程

方程

$$
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}+P(x)y=Q(x)y^n
$$

叫做伯努利方程。当$n=0,\ n=1$为线性微分方程，否则不是线性的。

7.5 可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$型微分方程

因为右端仅含有自变量$x$，只要把$y^{(n-1)}$作为新的未知函数。两边积分得

$$
y^{(n-1)}=\int f(x)\mathrm d x +C_1
$$

接下来同理可得

$$
y^{(n-2)}=\int\left[\int f(x)\mathrm dx +C_1\right]\mathrm dx +C_2
$$

$y’’=f(x, y’)$型微分方程

右端不含未知数$y$，如果设$y’=p$，那么

$$
y’’=\frac{\mathrm d p}{\mathrm d x}=p’
$$

原方程得

$$
p’=f(x, p)
$$

这是一个关于变量$x,\ p$得一阶微分方程，设其通解为

$$
p=\varphi(x, C_1),\
p=\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}.\
\Downarrow\
\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\varphi(x,\ C_1)
$$

进行积分，得方程通解

$$
y=\int\varphi(x,\ C_1)\mathrm d x+C_2
$$

$y’’=(y,\ y’)$型微分方程

令$y’=p$利用复合函数得求导法则把$y’’$化为对$y$的导数

$$
y’’=\frac{\mathrm d p}{\mathrm d}y’’=\frac{\mathrm d p}{\mathrm d x}=\frac{\mathrm d p}{\mathrm d y}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm d x}=p\frac{\mathrm d p}{\mathrm d y}
$$

方程则变为

$$
p\frac{\mathrm d p}{\mathrm d y}=f(y,\ p)
$$

这是一个关于变量$y, p$得一阶微分方程，设通解为$y’=p=\varphi(y,\ C_1)$，分离变量并积分得原方程的通解为

$$
\int\frac{\mathrm d y}{\varphi(y,\ C_1)}=x+C_2
$$

7.6 高阶线性微分方程

二阶线性微分方程举例

线性微分方程解的结构

有二阶齐次线性方程

$$
y’’+P(x)y’+Q(x)y=0
\tag 1
$$

定理：如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程的两个解，那么$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$也是方程的解。

设$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$为定义在区间$I$上的$n$个函数，如果存在$n$个不全为零的常数$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得当$x\in I$时恒有等式：

$$
k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_ny_n\equiv 0
$$

成立，那么称这$n$个 函数在区间$I$上线性相关；否则称线性无关。

定理：如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程的两个线性无关的特解，那么

$$
y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)
$$

就是方程的通解。

推论：如果$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$是$n$阶齐次方程$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y’+a_n(x)y=0$的$n$个线性无关的解，那么，此方程的通解为

$$
y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)
\tag 2
$$

其中$C_n$为任意常数。

定理：设$y^*(x)$是二阶非齐次线性方程

$$
y’’+P(x)y’+Q(x)=f(x)
\tag3
$$

的一个特解。$Y(x)$是与对应齐次方程(1)的通解，则$y=Y(x)+y^*(x)$是二阶非齐次线性微分方程(3)的通解。

定理（线性微分方程解的叠加原理）：设非齐次线性方程(3)的右端$f(x)$是两个函数之和：$y’’+P(x)y’+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$，而$y_1^(x),\ y_2^$分别是方程：

$$
y’’+P(x)y’+Q(x)y=f_1(x)\
y’’+P(x)y’+Q(x)y=f_2(x)
$$

的特解，则$y_1^(x)+y_2^(x)$就是原方程的特解。

常数变易法

如果已知齐次方程(1)的通解为：$Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$，那么可以由常数变易法求非齐次方程(3)的通解。令

$$
y=y_1(x)v_1+y_2(x)v_2
\tag4
$$

对(4)式求导得

$$
y’=y_1v_1’+y_2v_2’+y_1’v_1+y_2’v_2
$$

为了使$y’’$的表示式中不含$v_1’’,\ v_2’’$，可设$y_1v_1’+y_2v_2’=0$，从而$y’=y_1’v_1+y_2’v_2$，再求导得

$$
y’’=y_1’v_1’+y_2’v_2’+y_1’’v_1+y_2’’v_2
$$

把$y,\ y’,\ y’’$带入方程并整理

$$
y_1’v_1’+y_2’v_2’+(y_1’’+Py_1’+Qy_1)v_1+(y_2’’+Py_2’+Qy_2)v_2=f
$$

其中$y_1,\ y_2$是齐次方程(1)的解，故上式即为

$$
y_1’v_1’+y_2’v_2’=f
$$

联立方程，有系数行列式

$$
W= \left|
\begin{array}
{cc}
y_1&y_2\
y_1’&y_2’
\end{array}
\right|
=y_1y_2’-y_1’y_2\neq0
$$

解得：$v_1’=-\frac{y_2f}{W},\ v_2’=\frac{y_1f}{W}$

对上两式积分得

$$
v_1=C_1+\int\left(-\frac{y_2f}{W}\right)\mathrm d x,\quad v_2=C_2+\int\frac{y_1 f}{W}\mathrm d x
$$

于是得非齐次方程(3)的通解为

$$
y=C_1y_1+C_2y_2-y_1\int\frac{y_2f}{W}\mathrm d x+y_2\int\frac{y_1f}{W}\mathrm d x
$$

7.7 常系数齐次线性微分方程

二阶齐次线性微分方程

$$
y’’+P(x)y’+Q(x)y=0
\tag1
$$

如果$y’,y$的系数$P(x),\ Q(x)$均为常数，即(1)式成为

$$
y’’+py’+qy=0
\tag 2
$$

其中$p,q$是常数，那么称(2)为二阶常系数齐次线性微分方程。如果$p,q$不全为常数，称(1)为二阶变系数齐次线性微分方程。

求二阶常系数齐次线性微分方程$y’’+py’+qy=0$的通解步骤如下：

1. 写出微分方程(2)的特征方程：

   $$
   r^2+pr+q=0
   \tag3
   $$

2. 根据特征方程(3)求两个根$r_1,\ r_2$

3. 根据特征方程(3)的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程(2)的通解

   $r_1,\ r_2$	通解
   两个不相等的实根	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
   两个相等的实根$r_1=r_2$	$y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
   一对共轭复根$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是

$$
y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y’+p_ny=0
\tag 4
$$

用记号$\mathrm D$（叫做微分算子）表示对$x$求导的运算$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}$，把$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}$记作$\mathrm Dy$，把$\frac{\mathrm d^n y}{\mathrm d x^n}$记作$\mathrm D^n y$，并把方程记作

$$
(\mathrm D^n+p_1\mathrm D^{n-1}+\cdots+p_{n-1}\mathrm D+p_n)y=0
\tag 5
$$

记

$$
L(\mathrm D)=\mathrm D^n+p_1\mathrm D^{n-1}+\cdots+p_{n-1}\mathrm D
$$

$L(\mathrm D)$叫做微分算子 D 的 n 次多项式，于是上式记作$L(\mathrm D)y=0$。把$y=e^{rx}$带入方程，得

$$
L(r)e^{rx}=0
$$

如果选取$r$是$n$次代数方程$L(r)=0$，即

$$
r^n+p_1r^{n-1}+p_2r^{n-2}+\cdots+p_{n-1}r+p_n=0
\tag 6
$$

的根，那么作出的函数$y=e^{rx}$就是方程(5)的一个解。方程(6)是方程(5)的特征方程。

根据特征方程的根，写出如下的解：

特征方程的根	通解中的对应项
单实根$r$	一项：$Ce^{rx}$
一对单复根$r_{1,2}=\alpha\pm\beta \mathrm i$	两项：$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
$k$重实根$r$	给出$k$项：$e^{rx}(C_1+C_2 x+\cdots+C_k x^{k-1})$
一对$k$重复根$r_{1,2}=\alpha\pm\beta \mathrm i$	给出$2k$项：$e^{\alpha x}[(C_1+C_2 x+\cdots+C_k x^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2 x+\cdots+D_k x^{k-1})\sin\beta x]$

7.8 常系数非齐次线性微分方程

$f(x)$的两种形式为：

1. $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$，其中$\lambda$是常数，$P_m(x)$是$x$的一个$m$次多项式：

   $$
   P_m(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots+a_{m-1}x+a_m
   $$

2. $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x]$，其中$\lambda,\ \omega$是常数，$\omega\neq0, P_l(x),\ Q_n(x)$分别是$x$的$l,\ n$次多项式，且仅有一个可为零。

一、$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$

二、$f(x)=e^{\lambda x}[P_1(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x]$

7.9 欧拉方程

$$
x^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}xy’+p_ny=f(x)
$$

其中$p_1,p_2,\cdots,p_n$为常数，叫做欧拉方程

作变换$x=e^t,\ t=\ln x$，将自变量$x$换成$t$，有：

$$
\begin{align}
\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}&=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}=\frac1x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt},\
\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}&=\frac{1}{x^2}(\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dt^2}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}),\
\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}&=\frac{1}{x^3}(\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dt^3}-3\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dt^2}+2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt})
\end{align}
$$

一般地有

$$
x^ky^{(k)}=\mathrm D(\mathrm D-1)\cdots(\mathrm D-k+1)y
$$

便得一个以$t$为自变量的常系数线性微分方程。求出方程的解后，把$t$换成$\ln x$，即得方程的解。

7.10 常系数线性微分方程组解法举例