一. 函数与极限

1.1 集合与函数

1. 集合的概念：略

2. 集合的运算：

   • A 与 B 的并集：$A\bigcup B$$A \bigcup B$
   • A 与 B 的交集：$A\bigcap B$$A \bigcap B$
   • A 与 B 的差集：$A\setminus B$$A \setminus B$
   • 记$I$$I$为全集，A 的补集或余集：$A^C=I\setminus A=\{x\mid x\notin A\}$$A^C = I \setminus A = \{x \mid x \notin A\}$
   • A 与 B 的直集（笛卡尔乘积）：$A\times B=\{(x,y)\mid x\in Aandy\in B\}$$A \times B = \{(x,y) \mid x \in A \ and \ y \in B\}$

3. 区间：略

4. 邻域：点$a$$a$的邻域表示所有到点$a$$a$的距离小于正数$\delta$$\delta$的点的集合，记作：$U(a,\delta )$$U(a,\delta)$。即表示为：

   $$\{x\mid |x-a|<\delta ,\delta >0\}$$

   去心邻域记作：$\mathring{U}(a,\delta )$$\mathring U (a,\delta)$

映射与函数

1. 定义 1:存在一个对应法则$f$$f$，使得对于集合$X$$X$中的每一个元素$x$$x$，在$Y$$Y$中都有唯一的元素$y$$y$与之对应，记作：

   $$f:X\to Y$$

   X 的所有像的集合称为映射$f$$f$的值域，记作$R_f$$R_f$或$f(X)$$f(X)$，即：

   $$R_f=\{y\mid y=f(x),x\in X\}$$

2. 定义 2:设数集$D\in \mathbb{R}$$D \in \mathbb{R}$，则称映射 为定义在$D$$D$上的函数，简记为：

   $$y=f(x),x\in D$$

函数的特性

1. 奇偶性：设函数$f(x)$$f(x)$的定义域$D$$D$关于原点对称。如果对于任意$x\in D$$x\in D$，

   $$f(-x)=f(x)$$

   则$f(x)$$f(x)$为偶函数。如果对于任一$x\in D$$x\in D$，

   $$f(-x)=-f(x)$$

   则$f(x)$$f(x)$为奇函数。

2. 有界性：函数$f(x)$$f(x)$在$X$$X$上有上界：

   $$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }{B}_1,f(x)⩽B_1$$

   函数$f(x)$$f(x)$在$X$$X$上有下界：

   $$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }{B}_2,f(x)⩾B_2$$

   函数有界：

   $$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }M,\mid f(x)\mid ⩽M$$

3. 单调性：设函数定义域为$D$$D$，区间$I\subset D$$I \subset D$。如果对于区间$I$$I$上任意两点$x_1,x_2$$x_1,\ x_2$当$x_1<x_2$$x_1 < x_2$时，恒有：

   $$f(x_1)<f(x_2)$$

   那么称函数 $f(x)$$f(x)$是在区间$I$$I$上单调增加的；如果恒有：

   $$f(x_1)>f(x_2)$$

   那么称函数$f(x)$$f(x)$是在区间$I$$I$上单调减少的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

4. 周期性：设函数$f(x)$$f(x)$的定义域为$D$$D$。如果存在一个正数$l$$l$，使得对于任一$x\in D$$x \in D$有$(x\pm l)\in D$$(x\pm l)\in D$，且：

   $$f(x+l)=f(x)$$

   恒成立，那么称$f(x)$$f(x)$为周期函数，$l$$l$成为函数的周期（最小正周期）。

反函数

设函数$f:D\to f(D)$$f:D\rarr f(D)$是单射，则它的逆映射$f^{-1}:f(D)\to D$$f^{-1}:f(D)\rarr D$为函数$f$$f$的逆映射。对于每个$y\in f(D)$$y\in f(D)$，有唯一的$x\in D$$x\in D$使得$f(x)=y$$f(x)=y$，有：

则互为反函数。

复合函数

设函数$y=f(u)$$y=f(u)$的定义域为$D_f$$D_f$，函数$u=g(x)$$u=g(x)$的定义域为$D_g$$D_g$，且值域$R_g\subset D_f$$R_g\sub D_f$，则：

表示函数$u=g(x)$$u=g(x)$和函数$y=f(u)$$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为$D_g$$D_g$，$u$$u$称为中间变量。常记为：$f\circ g$$f \circ g$

初等函数

1. 幂函数 $y=x^{\mu }(\mu \in \mathbb{R})$$y=x^\mu(\mu \in \mathbb{R})$

2. 指数函数 $y=a^x(a>0,a\ne 1)$$y=a^x(a>0,a \neq 1)$

3. 对数函数 $y=lo{g}_{a}x(a>0,a\ne 1)$$y=log_a x(a>0,a \neq 1)$

4. 三角函数 $\sin \theta ,\cos \theta ,\tan \theta ,\cot \theta ,\sec \theta ,\mathrm{cec}\theta$$\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta, \cot \theta, \sec \theta, \mathrm{cec} \theta$

5. 反三角函数

   函数	定义域	值域
   $y=\arcsin x$$y=\arcsin x$	$[-1,1]$$[-1,1]$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
   $y=\arccos x$$y=\arccos x$	$[-1,1]$$[-1,1]$	$[0,\pi ]$$[0,\pi]$
   $y=\arctan x$$y=\arctan x$	$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$$(-\infty,+\infty)$	$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
   $y=\mathrm{arc}\cot x$$y=\mathrm{arc}\cot x$	$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$$(-\infty,+\infty)$	$(0,\pi )$$(0,\pi)$

6. 双曲函数：

   • 双曲正弦 $\mathrm{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$$\mathrm{sh}\ x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
   • 双曲余弦 $\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$\mathrm{ch}\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
   • 双曲正切 $\mathrm{th}x=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$\mathrm{th}\ x=\frac{\mathrm{sh}\ x}{\mathrm{ch}\ x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

7. 反双曲函数：

   • 反双曲正弦 $y=\mathrm{arsh}x$$y = \mathrm{arsh}\ x$
   • 反双曲余弦 $y=\mathrm{arch}x$$y = \mathrm{arch}\ x$
   • 反双曲正切 $y=\mathrm{arth}x$$y = \mathrm{arth}\ x$

1.2 数列的极限

数列

1. 数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$的子数列$\{x_{n_k}\}$$\{x_{n_k}\}$表示在原数列中抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的次序。

数列的极限

1. 数列的取值无限接近一个常数$a$$a$，若$a$$a$存在，则$a$$a$是数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$的极限，或称数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$收敛于$a$$a$，记作：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$\lim\limits_{n \to \infty} {x_n} = a$. 如果$a$$a$不存在，则称数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$是发散的。

2. 定义 1:设为$\{x_n\}$$\{x_n\}$实数数列，$a$$a$为常数。如果对于$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall \varepsilon > 0$（不论它多么小），$\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{\ast }}$$\exists N \in \mathbb{Z^*}$，使得对于$n>N$$n > N$时 ，不等式

   $$\mid x_n-a\mid <\epsilon$$

   都成立，则称常数$a$$a$是数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$的极限，或称数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$收敛于$a$$a$，记为：

   $$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\\ x_n\to a(n\to \mathrm{\infty })\end{array}$$

数列极限的性质

1. 定理 1:（极限的唯一性） 数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$不能收敛于两个不同的极限。

2. 定理 2:（收敛数列的有界性） 如果数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$收敛，那么数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$一定有界。

3. 定理 3:（收敛数列的保号性） 如果$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=a$，且$a>0(a<0)$$a>0 \ (a<0)$，那么存在正整数$N$$N$，使得当$n>N$$n>N$时，$x_n>0(x_n<0)$${x_n}>0 \ ({x_n}<0)$

   • 推论：如果数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$从某项起有$x_n⩾0$$x_n \geqslant 0$或$x_n⩽0$$x_n \leqslant 0$，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}=a$$\lim\limits_{n\to \infty} = a$，那么$a⩾0$$a \geqslant 0$或$a⩽0$$a\leqslant 0$

4. 定理 4:（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$收敛于$a$$a$，那么它的任一子数列也收敛于$a$$a$。

1.3 函数的极限

1. 定义 1: 函数当自变量趋于有限值时的极限定义：设函数$f(x)$$f(x)$在去心领域$\mathring{U}(x_0,\delta )$$\mathring U(x_0,\delta)$有定义，如果$\mathrm{\exists }A$$\exists A$，对于给定$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall \varepsilon > 0$（无论多么小），$\mathrm{\exists }\delta >0$$\exists \delta > 0$，使得当$x$$x$满足不等式$0<\mid x-x_0\mid <\delta$$0 < \mid x-x_0 \mid < \delta$时，对应的函数值$f(x)$$f(x)$都满足不等式

   $$\mid f(x)-A\mid <\epsilon$$

   那么常数$A$$A$就叫做函数$f(x)$$f(x)$当$x\to x_0$$x \to x_0$时的极限，记为

   $$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\\ or\\ f(x)\to A(\text{当}x\to x_0)\end{array}$$

   $f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处的极限和$f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处的定义无关，甚至$f(x)$$f(x)$可以没有定义。

2. 单侧极限:

   $$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A\iff f(x_0^{-})=A$$
   $$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A\iff f(x_0^{+})=A$$

3. 可以得到：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A\mathrm{\&}\mathrm{\&}\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)} =A \quad \&\& \quad \lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)} = A$

4. 定义 3：函数当自变量趋于无限时的极限：设$f(x)$$f(x)$当$\mid x\mid$$\mid x \mid$大于某一正数时有定义，如果$\mathrm{\exists }A$$\exists A$，对于$\mathrm{\forall }\epsilon >0$$\forall \varepsilon > 0$，$\mathrm{\exists }M>0$$\exists M > 0$，使得当$x$$x$满足不等式$\mid x\mid >M$$\mid x \mid > M$时，满足

   $$\mid f(x)-A\mid <\epsilon$$

   则常数$A$$A$叫做函数$f(x)$$f(x)$当$x\to \mathrm{\infty }$$x \to \infty$时的极限。

如果有$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=Lor\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$$\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)} = L \ or \ \lim\limits_{x \to -\infty}{f(x)} = L$，则直线$y=L$$y=L$称为函数$y=f(x)$$y=f(x)$的图形的水平渐近线.

函数极限的性质

1. 定理 1:（唯一性） 如果极限$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$存在，那么这个极限是惟一的。

2. 定理 2:（函数极限的局部有界性） 如果$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}=A$，那么$\mathrm{\exists }\delta >0,B>0$$\exists \delta > 0,B>0$，使得当$0<\mid x-x_0\mid <\delta$$0 < \mid x - x_0 \mid < \delta$时，有$\mid f(x)\mid ⩽B$$\mid f(x) \mid \leqslant B$.

3. 定理 3:（函数极限的局部保号性） 如果$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A$，而且$A>0(orA<0)$$A > 0 (or A < 0)$，那么$\mathrm{\exists }\delta >0$$\exists \delta > 0$，使当$0<\mid x-x_0\mid <\delta$$0 < \mid x -x_0 \mid < \delta$时，有$f(x)>0(orf(x)<0)$$f(x)>0(or \ f(x) < 0)$.

   推论 1:如果$\underset{x\to x_o}{lim}f(x)=A(A\ne 0)$$\lim\limits_{x \to x_o}{f(x)}=A(A \neq 0)$，那么存在$x_0$$x_0$的某一去心邻域$\mathring{U}(x_0)$$\mathring U(x_0)$，当$x\in \mathring{U}(x_0)$$x \in \mathring U(x_0)$时有$\mid f(x)\mid >\frac{1}{2}\mid A\mid$$\mid f(x)\mid > \frac{1}{2}\mid A \mid$.

   推论 2:如果在$x_0$$x_0$的某一去心邻域内$f(x)⩾0(orf(x)⩽0)$$f(x) \geqslant 0(or \ f(x) \leqslant 0)$，而且$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A$，那么$A⩾0(orA⩽0)$$A \geqslant 0(or \ A \leqslant 0)$.

4. 定理 4：（函数极限与数列极限的关系）如果极限$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在，$|x_n|$$|x_n|$为函数$f(x)$$f(x)$的定义域内任一收敛于$x_0$$x_0$的数列，且满足：$x_n\ne x_0(n\in {\mathbb{N}}_{+})$$x_n \neq x_0\ (n \in \mathbb{N}_+)$，那么相应的函数值数列$f(x_n)$${f(x_n)}$必收敛，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$.

1.4 无穷大与无穷小

无穷小

1. 定义 1:如果函数$f(x)$$f(x)$当$x\to x_0(orx\to \mathrm{\infty })$$x \to x_0(or \ x \to \infty)$时以零为极限，则称$f(x)$$f(x)$是当$x\to x_0(orx\to \mathrm{\infty })$$x \to x_0(or \ x \to \infty)$时的无穷小。

   特别地，以零为极限的数列$x_n$${x_n}$称为$n\to \mathrm{\infty }$$n\to \infty$时的无穷小

2. 定理 1:在自变量$x\to x_0(orx\to \mathrm{\infty })$$x \to x_0(or \ x \to \infty)$的过程中，函数$f(x)$$f(x)$具有极限$A$$A$的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha$$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$$\alpha$是当$x\to x_0(orx\to \mathrm{\infty })$$x \to x_0(or \ x \to \infty)$的无穷小。

3. 定理 2:有限个无穷小的和仍然是无穷小。

4. 定理 3:有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论 1：常数与无穷小的乘积是无穷小

推论 2：有限个无穷小的乘积也是无穷小

无穷大

1. 定义 2: 设函数$f(x)$$f(x)$在某个去心邻域内（或当$\mid x\mid$$\mid x \mid$充分大时）有定义，如果对$\mathrm{\forall }B(howevergreatBis)$$\forall B(however \ great \ B \ is)$，都存在$\delta >0(or\mathrm{\exists }M>0)$$\delta > 0(or \ \exists M > 0)$，使得当$0<\mid x-x_0\mid <\delta (or\mid x\mid >M)$$0 < \mid x - x_0 \mid < \delta(or \ \mid x \mid > M)$时有

   $$\mid f(x)\mid >B$$

   成立，则称$f(x)$$f(x)$是当$x\to x_0(orx\to \mathrm{\infty })$$x \to x_0(or \ x \to \infty)$时的无穷大。

   如果函数$f(x)$$f(x)$是无穷大，那么$f(x)$$f(x)$的极限是不存在的。 也称“函数的极限是无穷大”

无穷大与无穷小之间的关系

1. 定理 4:在自变量的同一变化过程中，如果$f(x)$$f(x)$为无穷大，则$\frac{1}{f(x)}$$\frac{1}{f(x)}$为无穷小；反之...。
2. 定义 3:如果函数$f(x)$$f(x)$满足$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }or\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$$\lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)}=\infty \ or \ \lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)}=\infty$，则称直线$x=x_0$$x=x_0$是函数$f(x)$$f(x)$的图形的一条铅直渐近线。

1.5 极限运算法则

1. 定理 1:如果在自变量同一变化的过程中，$limf(x)=A,limg(x)=B$$\lim{f(x)}=A,\lim{g(x)}=B$，那么：

   • $lim[f(x)\pm g(x)]=limf(x)\pm limg(x)=A\pm B$$\lim{[f(x) \pm g(x)]} = \lim{f(x)} \pm \lim{g(x)} = A \pm B$

     有限个无穷小的和是无穷小

   • $lim[f(x)\cdot g(x)]=limf(x)\cdot limg(x)=A\cdot B$$\lim{[f(x) \cdot g(x)]} = \lim{f(x)} \cdot \lim{g(x)} = A \cdot B$ - $lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$\lim{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{\lim{f(x)}}{\lim{g(x)}} = \frac{A}{B}(B \neq 0)$

     有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

     常数与无穷小的乘积是无穷小；

     有限个无穷小的乘积是无穷小；

   • 若有$B\ne 0$$B \neq 0$，$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{A}{B}$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$

     推论 1:如果$limf(x)$$\lim{f(x)}$存在，而$c$$c$为常数，则$lim[cf(x)]=climf(x)$$\lim{[cf(x)]} = c\lim{f(x)}$ 推论 2:如果$limf(x)$$\lim{f(x)}$存在，而$n\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{\ast }}$$n \in \mathbb{Z^*}$，则$lim[f(x){]}^n=[limf(x){]}^n$$\lim{[f(x)]^n} = [\lim{f(x)}]^n$

2. 定理 2:设有数列$\{x_n\}$$\{x_n\}$和$\{y_n\}$$\{y_n\}$，如果：

   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=B,$$

   那么:

   • $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n+y_n)=A\pm B;$$\lim\limits_{n \to \infty}{(x_n + y_n)} = A \pm B;$
   • $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B$$\lim\limits_{n \to \infty}{(x_n \cdot y_n)} = A \cdot B$
   • 当$y_n\ne 0(n=1,2,\cdots )$$y_n \neq 0(n=1,2,\cdots)$且$B\ne 0$$B \neq 0$时，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}.$$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{A}{B}.$

3. 定理 3:如果$\phi (x)⩾\psi (x)$$\varphi(x) \geqslant \psi(x)$，而$lim\phi (x)=A,lim\psi (x)=B$$\lim \varphi(x)=A,\ \lim\psi(x)=B$，那么$A⩾B$$A \geqslant B$。

4. 定理 4:（复合函数的极限运算法则） 设复合函数$y=f[g(x)]$$y=f[g(x)]$（有定义）。若$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=u_0,\underset{u\to u_0}{lim}f(u)=A$$\lim\limits_{x \to x_0}{g(x)} = u_0, \lim\limits_{u \to u_0}{f(u)} = A$，且在$x_0$$x_0$的某去心邻域内$g(x)\ne u_0$$g(x) \neq u_0$，则

   $$\underset{x\to x_0}{lim}f[g(x)]=\underset{u\to u_0}{lim}f(u)=A$$

1.6 极限存在准则 两个重要极限

夹逼准则

如果数列$x_n,y_n,z_n$${x_n},\ {y_n},\ {z_n}$满足以下条件：

1. 从某项起，即$\mathrm{\forall }{n}_0\in {\mathbb{N}}_{+}$$\forall n_0 \in \mathbb{N}_+$，当$n>n_0$$n>n_0$时有：$y_n⩽x_n⩽z_n$$y_n \leqslant x_n \leqslant z_n$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=a$$\lim\limits_{n\to \infty}y_n=a,\ \lim\limits_{n\to \infty}z_n=a$

那么数列$x_n$${x_n}$的极限存在，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。

如果函数$f(x),g(x),h(x)$$f(x),g(x),h(x)$满足下列条件：

• 在$x_0$$x_0$的某一去心邻域内$x_0\in \mathring{U}(x_0,r)$$x_0\in\mathring U(x_0,\ r)$，或者$|x|>M$$|x|>M$时： $g(x)⩽f(x)⩽h(x);$$g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x);$
• $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=A,\underset{x\to x_0}{lim}h(x)=A.$$\lim\limits_{x \to x_0}{g(x)} = A,\lim\limits_{x \to x_0}{h(x)} = A.$

那么$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$存在，且$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A.$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A.$

定理 2:单调有界函数必有极限。

柯西极限存在准则

（柯西收敛原理）数列$x_n$${x_n}$收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数$ϵ$$\epsilon$，存在正整数$N$$N$，使得当$m>N,n>N$$m>N,\ n>N$时有：

重要极限

1. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}}=1$

2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$$\lim\limits_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} = e$ 另一种形式： $\underset{z\to 0}{lim}(1+z{)}^{\frac{1}{z}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$\lim\limits_{z \to 0}{(1+z)^\frac{1}{z}} = \lim\limits_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x} = e$

3. 如果$limf(x)=A,limg(x)=B$$\lim{f(x)} = A,\lim{g(x)} = B$，那么

   $$lim[f(x){]}^{g(x)}=A^B$$

1.7 无穷小的比较

1. 定义 1:设$\alpha ,\beta$$\alpha,\beta$是自变量在同一变化过程中的无穷小，且$\beta \ne 0,lim\frac{\alpha }{\beta }$$\beta \neq 0,\lim{\frac{\alpha}{\beta}}$也是在同一过程中的极限。

   • 如果$lim\frac{\alpha }{\beta }=0$$\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = 0$，则称$\alpha$$\alpha$是比$\beta$$\beta$高阶的无穷小，记作$\alpha =o(\beta )$$\alpha = o(\beta)$；
   • 如果$lim\frac{\alpha }{\beta }=\mathrm{\infty }$$\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = \infty$，则称$\alpha$$\alpha$是比$\beta$$\beta$低阶的无穷小；
   • 如果$lim\frac{\alpha }{\beta }=c\ne 0$$\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = c \neq 0$，则称$\alpha$$\alpha$是比$\beta$$\beta$同阶无穷小；
   • 如果$lim\frac{\alpha }{{\beta }^k}=c\ne 0,k>0$$\lim{\frac{\alpha}{\beta^k}} = c \neq 0,k > 0$，则称$\alpha$$\alpha$是关于$\beta$$\beta$的$k$$k$阶无穷小；
   • 如果$lim\frac{\alpha }{\beta }=1$$\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = 1$，则称$\alpha$$\alpha$与$\beta$$\beta$是等价无穷小，记作$\alpha \sim \beta$$\alpha \sim \beta$

   等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形：$c=1$$c=1$

2. 定理 1:$\alpha$$\alpha$与$\beta$$\beta$是等价无穷小的充分必要条件为$\alpha =\beta +o(\beta )$$\alpha = \beta + o(\beta)$.

3. 定理 2:若$\alpha \sim {\alpha }^{\prime }$$\alpha \sim \alpha'$，且$\beta \sim {\beta }^{\prime }$$\beta \sim \beta'$，则：

   $$lim\frac{\alpha }{\beta }=lim\frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }}.$$

4. 求两个无穷小之比时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，从而简化计算。

5. 几个等价无穷小：

• $x\to 0$$x \to 0$时：

  $\begin{array}{c}\sin x\sim x,\tan x\sim x,\\ \arcsin x\sim x,1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,\arctan x\sim x,\\ \ln (1+x)\sim x,e^x-1\sim x,\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x.\end{array}$$\sin x \sim x,\ \tan x \sim x,\\ \arcsin x \sim x,\ 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2,\ \arctan x \sim x,\\ \ln(1+x) \sim x,\ e^x -1 \sim x,\ \sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x.$

1.8 函数的连续性与间断点

函数的连续性

1. 定义 1:$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)$。包含了三个含义：

   • $y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$处有定义；
   • $y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$处极限存在；
   • $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)$ 极限值等于函数值。

2. 多项式函数、有理函数在定义域内每一点都是连续的。

3. 定义 2:设$y=f(x)$$y=f(x)$在$\mathring{U}(x_0)$$\mathring U(x_0)$有定义，若当$\mathrm{\Delta }x\to 0$$\Delta x \to 0$时有$\mathrm{\Delta }y\to 0$$\Delta y \to 0$，

   $$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}y=0or\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)]=0$$

   就称$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处连续。

   对于函数$y=\sin x$$y=\sin x$在区间$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$$(-\infty,+\infty)$内：

   在任意一点$x_0$$x_0$处有

   $$0<\mid sinx-sin{x}_0\mid =2\left|cos\frac{x+x_0}{2}\right|\left|sin\frac{x-x_0}{2}\right|⩽\mid x-x_0\mid$$

4. 如果$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0^{-})$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0^-)$存在且等于$f(x_0)$$f(x_0)$，即：$f(x_0^{-})=f(x_0)$$f(x_0^-)=f(x_0)$。那么说函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$左连续。

5. 如果$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0^{+})$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0^+)$存在且等于$f(x_0)$$f(x_0)$，即：$f(x_0^{+})=f(x_0)$$f(x_0^+)=f(x_0)$。那么说函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$右连续。

6. 定理 1:$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$连续的充分必要条件是$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$既左连续，又右连续。连续函数的图形是一条不间断的曲线。

函数的间断点

设函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$的某去心领域内有定义，在此前提下，如果有以下三种情形之一：

1. 在$x=x_0$$x=x_0$没有定义
2. 虽在$x=x_0$$x=x_0$处有定义，但$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$不存在
3. 虽在$x=x_0$$x=x_0$处有定义，且$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$存在，但$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)$$\lim\limits_{x\to x_0}f(x) \neq f(x_0)$

那么函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$为不连续，而点$x_0$$x_0$称为函数的不连续点或间断点。

常见间断点的类型：

1. 第一类间断点：左极限、右极限都存在。

   • 可去间断点：$e.g:f(x)=\frac{\sin x}{x},x=0;\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1.$$e.g:f(x)=\frac{\sin x}{x},x=0;\ \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1.$
   • 跳跃间断点：$\begin{array}{c}e.g.:f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<1\\ x,& x⩾1\end{array};\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=2,\underset{x\to 1}{lim}f(x)=1.\end{array}$$e.g.:f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ x, & x \geqslant 1 \end{cases}; \ \lim\limits_{x \to 1^-}{f(x)}=2, \ \lim\limits_{x \to 1}{f(x)=1.}$

2. 第二类间断点：左极限、右极限不都存在（非第一类间断点）。

   • 无穷间断点：$e.g.:f(x)=\frac{1}{x^2};\underset{x\to 0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }.$$e.g.:f(x)=\frac{1}{x^2}; \ \lim\limits_{x \to 0}{f(x)}=\infty.$
   • 震荡间断点：$e.g.:f(x)=\sin \frac{1}{x};\underset{x\to 0}{lim}f(x)\in [-1,1].$$e.g.:f(x)=\sin \frac{1}{x}; \ \lim\limits_{x \to 0}{f(x)} \in [-1,1].$

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

若函数$f(x),g(x)$$f(x),g(x)$都在点$x_0$$x_0$处连续，则函数$f(x)\pm g(x),f(x)\cdot g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0)\ne 0)$$f(x) \pm g(x),f(x) \cdot g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0) \neq 0)$也在$x_0$$x_0$处连续。

反函数与复合函数的连续性

如果函数$y=f(x)$$y=f(x)$在某个区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数$x=f^{-1}(y)$$x=f^{-1}(y)$也在相应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。

设函数$u=\phi (x)$$u=\varphi(x)$在点$x_0$$x_0$处连续且$\phi (x)=u_0$$\varphi(x)=u_0$，而函数$y=f(u)$$y=f(u)$在点$u_0$$u_0$处连续，则复合函数$y=f[\phi (x)]$$y=f[\varphi(x)]$在点 $x_0$$x_0$处也连续；

初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的。

对于形如$u(x{)}^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\not\equiv 1)$$u(x)^{v(x)}\quad (u(x)>0,\ u(x) \not\equiv 1)$的函数，称为幂指函数，如果：

$$limu(x)=a>0,limv(x)=b$$

那么：

$$limu(x{)}^{v(x)}=a^b$$

1.10 闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值和最小值定理

定理 1:（有界性与最大值和最小值定理） 闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定存在最大值和最小值。

如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有界，也不一定有最大值最小值。(e.g. $y=\tan x$$y=\tan x$)

零点定理和介值定理

如果$x_0$$x_0$使$f(x_0)=0$$f(x_0)=0$，那么$x_0$$x_0$称为函数$f(x)$$f(x)$的零点。（零点不是点）

（零点定理） 设函数$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上连续且$f(a)$$f(a)$与$f(b)$$f(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi <b)$$\xi(a<\xi <b)$，使$f(\xi )=0.$$f(\xi)=0.$

（介值定理） 设函数$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,b]$上连续，并且在区间端点取不同的函数值$f(a)=A,f(b)=B$$f(a)=A,f(b)=B$，那么对于$A$$A$和$B$$B$之间的任意一个数$W$$W$ ，在开区间$(a,b)$$(a,b)$内至少存在一个点$\xi$$\xi$，使得$f(\xi )=W.(a<\xi <b)$$f(\xi)=W.\ (a<\xi<b)$

推论：在闭区间上连续的函数必能够取到介于最大值$M$$M$与最小值$m$$m$之间的任何值。

一致连续性

设函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上有定义，如果对于任一给定的正数$\epsilon$$\varepsilon$，总存在正数$\delta$$\delta$，使得对于区间$I$$I$上的任意两点$x_1,x_2$$x_1,\ x_2$，当$|x_1-x_2|<\delta$$|x_1 - x_2| < \delta$，时有：

那么称函数$f(x)$$f(x)$在区间$I$$I$上一致连续。

（一致连续性定理）如果函数$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,\ b]$上连续，那么它在该区间上一致连续。

1.10-1 求极限的方法总结

定义法

夹逼定理

1. 设在点$x_0$$x_0$的某领域内（或$\mid x\mid >M$$\mid x\mid>M$），有$g(x)⩽f(x)⩽h(x)$$g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$，且$limg(x)=A,limh(x)=A$$\lim g(x)=A,\lim h(x)=A$，那么$limf(x)$$\lim f(x)$存在且等于$A$$A$。
2. 单调有界函数必有极限。

无穷小量的代换

函数的连续

若函数在$U(x_0)$$U(x_0)$处连续，则$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$

洛必达法则

对于$\frac{0}{0}$$\frac{0}{0}$和$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$\frac{\infty}{\infty}$未定式使用合适的变换后分子分母求导

泰勒展开