二. 导数与微分

2.1 导数的概念

导数的概念

定义：函数$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$的某个领域内有定义，当自变量在$x_0$$x_0$处取得增量$\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$，相应地因变量取得增量$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，如果$\mathrm{\Delta }y$$\Delta y$与$\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$之比当$\mathrm{\Delta }x\to 0$$\Delta x \to 0$时的极限存在，那么称函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处可导，这个极限为在这点的导数，记为：$f^{\prime }(x_0)$$f'(x_0)$，即：

也可以记作：

$y^{\prime }$$y'$记号来自牛顿，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$记号来自莱布尼兹。

如果函数$y=f(x)$$y=f(x)$在开区间$I$$I$内每点处都可导，那么就称函数$f(x)$$f(x)$在开区间$I$$I$内可导。$f(x)$$f(x)$的导函数$y^{\prime },f^{\prime }(x),\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$$y',\ f'(x),\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\ \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$。

导数的几何意义：曲线$y=f(x)$$y=f(x)$在点$M(x_0,f(x_0))$$M(x_0, f(x_0))$处的切线方程为：$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

单侧导数

1. 定义：设函数$y=f(x)$$y=f(x)$在$U(x_0)$$U(x_0)$有定义，左导数：

   $$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

   右导数：

   $$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

   如果函数$f(x)$$f(x)$在开区间$(a,b)$$(a,\ b)$内可导，且$f_{+}^{\prime }(a),f_{-}^{\prime }(b)$$f'_+(a),\ f'_-(b)$都存在，那么：$f(x)$$f(x)$在闭区间$[a,b]$$[a,\ b]$上可导。

函数可导性与连续性的关系

函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$处可导的充分必要条件是：左右导数存在且相等。

如果函数$f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处可导，则$f(x)$$f(x)$在$x_0$$x_0$处连续。

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

2.2 导数的运算法则及基本公式

导数的运算法则

如果函数$u=u(x)$$u=u(x)$及$v=v(x)$$v=v(x)$都在点$x$$x$处可导，那么：

• $[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$$[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
• $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$[u(x) v(x)]' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
• ${\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne 0)$$\left[\frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x) \neq 0)$
• $(u+v-w{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }-w^{\prime }$$(u+v-w)'=u'+v'-w'$
• $(uvw{)}^{\prime }=[(uv)w{]}^{\prime }=(u^{\prime }v+u{v}^{\prime })w+uv{w}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$$(uvw)'=[(uv)w]'=(u'v+uv')w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'$

（反函数的求导）如果函数$x=f(y)$$x=f(y)$在区间$I_y$$I_y$内单调、可导且$f^{\prime }(y)\ne 0$$f'(y)\neq 0$，则它的反函数$y=f^{-1}(x)$$y=f^{-1}(x)$在区间$I_x=\{x\mid x=f(y),y\in I_y\}$$I_x=\{x\mid x=f(y),y \in I_y\}$内也可导，且

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

（复合函数的求导）如果$u=g(x)$$u=g(x)$在点$x$$x$可导，而$y=f(u)$$y=f(u)$在点$u=g(x)$$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$$y=f[g(x)]$在点$x$$x$可导，其导数为：

运算公式

1. 导数公式：

   L1	L2
   $C^{\prime }=0;$$C'=0;$	$(x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1};$$(x^\mu)' = \mu x^{\mu -1};$
   $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x;$$(\sin x)'=\cos x;$	$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x;$$(\cos x)'=-\sin x;$
   $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$$(\tan x)'=\sec ^2x$	$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$$(\cot x)'=-\csc^2x$
   $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$$(\sec x)' = \sec x\tan x$	$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$$(\csc x)'=-\csc x\cot x$
   $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$$(a^x)'=a^x\ln a$	$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$(e^x)'=e^x$
   $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$	$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$(\ln x)'=\frac{1}{x}$
   $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
   $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$	$(\mathrm{arc}\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$(\mathrm{arc}\cot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$
   $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$$(u \pm v)' = u'\pm v'$	$(Cu{)}^{\prime }=C{u}^{\prime }$$(Cu)' = Cu'$
   $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$(uv)' = u' v+uv'$	${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u' v-uv'}{v^2}$

2.3 高阶导数

定义：设函数$y=f(x)$$y=f(x)$的导函数在点$x$$x$处可导，就称$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x$$x$处二阶可导，此导数称为二阶导数，记作$y^{"},f^{"}(x)$$y^{"},f^{"}(x)$即：

函数$y=f(x)$$y=f(x)$具有$n$$n$阶导数，也说称函数$f(x)$$f(x)$为$n$$n$阶可导，二阶与二阶以上的导数统称为高阶导数。

常见高阶导数公式

• $(e^{kx}{)}^{(n)}=k^n{e}^{kx}$$(e^{kx})^{(n)}=k^ne^{kx}$
• $(x^{\mu }{)}^{(n)}=\mu (\mu -1)(\mu -2)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}$$(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}$
• $(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$$(\sin x)^{(n)}=\sin (x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
• $(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})$$(\cos x)^{(n)}=\cos (x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
• $[\ln (x+1){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x+1{)}^n}$$[\ln(x+1)]^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x+1)^n}$
• $(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$$(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$ （莱布尼兹公式）

2.4 隐函数与参数方程导数

隐函数求导

隐函数求导的基本方法：把方程$F(x,y)=0$$F(x,y)=0$中的$y$$y$看作是$x$$x$的函数，方程两端同时对$x$$x$求导，然后解出$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}.$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}.$

对数求导法：$e.g.:y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}.$$e.g.:y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}.$两边取对数:

可以证明：$(\ln \mid x\mid {)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$(\ln\mid x\mid)'=\frac{1}{x}$

参数方程求导

有参数方程：$\{\begin{array}{rl}x& =\phi (t)\\ y& =\psi (t)\end{array}$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned} x&=\varphi(t)\\ y&=\psi(t) \end{aligned}\right.\end{equation}$

相关变化率

两个变量都与另一个变量相关:

1. 例：当金属圆盘在炉中加热时，圆盘半径$r$$r$会随时间$t$$t$增大，圆盘的面积$S$$S$也会随着时间$t$$t$增大，有：$S=\pi r^2$$S=\pi r^2$，方程两边同时对$t$$t$求导，有：

   $$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}=2\pi r\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$$

   上式$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$$\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$与$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}$就是互相关联的变化率。

2.5 函数的微分

微分的定义

设函数$y=f(x)$$y=f(x)$在某区间有定义，$x_0$$x_0$及$x_0+\mathrm{\Delta }x$$x_0+\Delta x$在这区间内，如果函数的增量$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x)$可表示为：

就称函数$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$处是可微的，并称$A\mathrm{\Delta }x$$A\Delta x$为函数$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$的微分，记作$\mathrm{d}y$$\mathrm{d}y$，即：

函数$f(x)$$f(x)$在任意点的微分，称为函数的微分，记作$\mathrm{d}y,\mathrm{d}f(x)$$\mathrm{d}y,\ \mathrm{d}f(x)$

同城通常把自变量$x$$x$的增量$\mathrm{\Delta }x$$\Delta x$称为自变量的积分，记作$\mathrm{d}x$$\mathrm{d}x$，于是函数的微分可记作：$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$

定理：函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$可微的充分必要条件是函数$f(x)$$f(x)$在点$x_0$$x_0$可导，且此时$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x.$$\mathrm{d}y=f' (x_0)\Delta x.$

函数的导数等于函数的微分$\mathrm{d}y$$\mathrm{d}y$与自变量$\mathrm{d}x$$\mathrm{d}x$的商：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x).$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x).$因此，导数又称微商。

微分的基本公式和运算法则

复合函数的微分

复合函数的微分法则：无论$u$$u$是自变量还是中间变量，微分形式$\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$$\mathrm{d}y=f'(u)\mathrm{d}u$保持不变。这一性质叫做微分形式不变性。例：$y=\sin (2x+1),\mathrm{d}y=?$$y=\sin(2x+1),\mathrm{d}y=?$

近似计算

如果$y=f(x)$$y=f(x)$在点$x_0$$x_0$处的导数$f^{\prime }(x_0)\ne 0$$f'(x_0)\neq 0$，且$|\mathrm{\Delta }x|$$|\Delta x|$很小时，有：

误差估计

如果某个量的精确值为$A$$A$，它的近似值为$a$$a$，那么$|A-a|$$|A-a|$叫做$a$$a$的绝对误差，而$\frac{|A-a|}{|a|}$$\frac{|A-a|}{|a|}$叫做$a$$a$的相对误差。又知道它的误差不超过${\delta }_A$$\delta_A$：

称${\delta }_A$$\delta_A$为$A$$A$的绝对误差限，而称$\frac{{\delta }_A}{\mid a\mid }$$\frac{\delta_A}{\mid a\mid}$为$x$$x$的相对误差限。