五. 定积分

5.1 定积分的概念与性质

定积分问题举例

1. 曲边梯形的面积

   $A=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$A=\lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum\limits_{i=1}^n}f(\xi_i)\Delta x_i$

2. 变速曲线运动的路程

   $s=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=i}^{n}v({\tau }_i)\mathrm{\Delta }{t}_i$$s=\lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum\limits_{i=i}^n}v(\tau_i)\Delta t_i$

定积分的定义

函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a,\ b]$上有界，且将区间$[a,b]$$[a,\ b]$分为$n$$n$个小区间，每个小区间上任取一个点${\xi }_i$$\xi_i$函数值$f({\xi }_i)$$f(\xi_i)$与小区间长度$\mathrm{\Delta }{x}_i$$\Delta x_i$的乘积的和（$S=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$S=\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$）的极限为函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a, b]$上的定积分（简称积分），记作${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$，即：

其中$f(x)$$f(x)$叫做被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$$f(x)\mathrm{d}x$叫做被积表达式，$x$$x$叫做积分变量，$a$$a$叫做积分下限，$b$$b$叫做积分上限，$[a,b]$$[a, b]$叫做积分区间。

和式$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$称为积分和，如果$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,\ b]$上定积分存在，那么说$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a,\ b]$上可积。

定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。

定理：

1. 设$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a, b]$上连续，则$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a, b]$上可积。
2. 设$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a ,b]$ 上有界，且只有有限个间断点。则$f(x)$$f(x)$在$[a,b]$$[a, b]$上可积。

定积分的近似计算

矩形法

采取把区间$[a,b]$$[a,\ b]$等分的方法，每个小区间长为：$\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$$\Delta x=\frac{b-a}n$。在小区间$[x_{i-1},x_i]$$[x_{i-1},\ x_i]$上，取${\xi }_i=x_{i-1}$$\xi_i = x_{i-1}$，应有：

取${\xi }_i=x_i$$\xi_i=x_i$得近似公式：

梯形法

定积分的近似值：

抛物线法（辛普森法）

定积分的性质

补充两点规定：

1. 当$b=a$$b=a$时，${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0}$$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=0$
2. 当$a>b$$a>b$时，${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-{\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x$

性质有：

1. 设$\alpha$$\alpha$与$\beta$$\beta$为常数,则

   $${\displaystyle {\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]\mathrm{d}x=\alpha {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x+\beta {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x}$$

   对于任意有限个函数线性组合也是成立的。

2. 设$a<c<b$$a<c<b$，则：

   $${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$

   定积分对于积分区间具有可加性

3. 如果在区间$[a,b]$$[a, b]$上$f(x)\equiv 1$$f(x)\equiv 1$，那么

   $${\displaystyle {\int }_a^{b}1\mathrm{d}x={\int }_a^b\mathrm{d}x=b-a}$$

4. 如果在区间$[a,b]$$[a, b]$上$f(x)⩾0$$f(x)\geqslant 0$，那么

   $${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩾0(a<b)}$$

5. 推论 1：如果在区间$[a,b]$$[a, b]$上$f(x)⩽g(x)$$f(x)\leqslant g(x)$，那么

   $${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽{\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x(a<b)}$$

6. 推论 2：$\left|{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}\right|⩽{\displaystyle {\int }_a^b\mid f(x)\mid \mathrm{d}x(a<b)}$$\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\right| \leqslant \displaystyle\int_a^b \mid f(x)\mid\mathrm{d}x \quad (a<b)$

7. 设$M$$M$及$m$$m$分别是函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a, b]$上的最大值及最小值，则

   $$m(b-a)⩽{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x⩽M(b-a)}$$

8. （定积分中值定理） 如果函数$f(x)$$f(x)$在积分区间$[a,b]$$[a, b]$上连续，那么在$[a,b]$$[a, b]$上至少存在一个点$\xi$$\xi$，使得：

   $${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)(a⩽\xi ⩽b)}$$

   几何解释：在区间$[a,b]$$[a,\ b]$上至少存在一点$\xi$$\xi$，使得以区间$[a,b]$$[a,\ b]$为底边、以曲线$y=f(x)$$y=f(x)$为曲边的曲边梯形的面积等于同底边高为$f(\xi )$$f(\xi)$的一个矩形的面积。按积分中值公式：

   $$f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

   称为函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a,\ b]$上的平均值。

5.2 微积分基本公式

积分上限函数及其导数

如果函数$f(X)$$f(X)$在区间$[a,b]$$[a, b]$上连续，那么积分上限的函数

在$[a,b]$$[a, b]$上可导，并且它的导数

如果函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a, b]$上连续，那么函数

就是$f(X)$$f(X)$在$[a,b]$$[a, b]$上的一个原函数。

牛顿-莱布尼茨公式

（微积分基本定理）（牛顿-莱布尼兹公式） 如果函数$F(X)$$F(X)$是连续函数$f(X)$$f(X)$在区间$[a,b]$$[a, b]$上的一个原函数，那么

或者写成：

5.3 定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

定理：假设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a, b]$上连续，函数$x=\phi (t)$$x=\varphi(t)$满足条件：

1. $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b;$$\varphi(\alpha)=a, \, \varphi(\beta)=b\;;$
2. $\phi (t)$$\varphi(t)$在$[a,b]$$[a, b]$（或$[\beta ,\alpha ]$$[\beta, \alpha]$）上具有连续函数，且其值域$R_{\phi }=[a,b]$$R_\varphi=[a, b]$（只要$f(x)\text{在}{R}_{\phi }$$f(x)在R_\varphi$上连续），

则有：（定积分的换元公式）

注意：换元后的积分限随新元变化。

定积分的分部积分法

定积分的分部积分公式：

简记作：

特别地，被积函数为奇函数，且定积分区间为对称区间，则：${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=0(a=-b)}$$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x = 0 \quad (a=-b)$.

5.4 反常积分

无穷限的反常积分

函数$f(x)$$f(x)$在无穷区间$[a,+\mathrm{\infty })$$[a, +\infty)$上的反常积分：

定义 1：设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })$$[a, + \infty)$上连续，如果极限$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle {\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x}$$\lim\limits_{t \to + \infty}\displaystyle\int_a^tf(x)\mathrm{d}x$存在，那么称反常积分${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$发散。

类似地，$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle {\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\lim\limits_{t \to -\infty}\displaystyle\int_t^bf(x)\mathrm{d}x$为函数$f(x)$$f(x)$在无穷区间$(-\mathrm{\infty },b]$$(-\infty, b]$上的反常积分。

设函数$f(x)$$f(x)$在区间$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$$(-\infty, +\infty)$上连续，反常积分${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_{-\infty}^0f(x)\mathrm{d}x$与反常积分${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$之和称为函数$f(x)$$f(x)$在无穷区间$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$$(-\infty, +\infty)$上的反常积分，记为：${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$。如果两积分均收敛，则${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，其值为两分段反常积分的和，反之则发散。

无界函数的反常积分

如果函数$f(x)$$f(x)$在点$a$$a$的任一邻域内部无界，那么点$a$$a$称为函数$f(x)$$f(x)$的瑕点（无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。

定义 2：

1. 设函数$f(x)$$f(x)$在区间$(a,b]$$(a, b]$上连续，点$a$$a$为$f(x)$$f(x)$的瑕点，如果极限${\displaystyle \underset{t\to a^{+}}{lim}{\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\lim\limits_{t \to a^+}\int_t^b f(x)\mathrm{d}x$存在，那么称反常积分${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散。
2. 设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b)$$[a, b)$上连续，点$b$$b$为$f(x)$$f(x)$的瑕点，如果极限${\displaystyle \underset{t\to b^{-}}{lim}{\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\lim\limits_{t \to b^-}\int_a^t f(x)\mathrm{d}x$存在，那么称反常积分${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散。
3. 设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,c)$$[a,c)$及区间$(a,b]$$(a, b]$上连续点$c$$c$为$f(x)$$f(x)$的瑕点。反常积分${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x(3)={\displaystyle {\int }_a^{c}f(x)\mathrm{d}x(1)+{\int }_c^{b}f(x)\mathrm{d}x(2)}}$$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\quad(3)=\displaystyle\int_a^cf(x)\mathrm{d}x\quad(1) +\int_c^bf(x)\mathrm{d}x\quad (2)$称为函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,b]$$[a, b]$上的反常积分。若(1)(2)均收敛，那么(3)收敛，(1)+(2)=(3)；否则称反常积分(3)发散。

5.5 反常积分的审敛法 $\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$函数

无穷限反常积分的审敛法

定理：设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })$$[a,\ +\infty)$上连续，且$f(x)⩾0$$f(x)\geqslant0$，若函数：$F(x)={\displaystyle {\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}$$F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$在$[a,+\mathrm{\infty })$$[a, +\infty)$上有界，则反常积分${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛。

定理（比较收敛原理） 设函数$f(x),g(x)$$f(x),\ g(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })$$[a,\ +\infty)$上连续。如果$0⩽f(x)⩽g(x)(a⩽x<+\mathrm{\infty })$$0\leqslant f(x)\leqslant g(x)\ (a\leqslant x<+\infty)$，且${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm d x$收敛，那么${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$也收敛；如果$0⩽g(x)⩽f(x)(a⩽x<+\mathrm{\infty })$$0\leqslant g(x)\leqslant f(x)\ (a\leqslant x<+\infty)$，且${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm d x$发散，那么${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$也发散。

定理（比较审敛法 1） 设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })、(a>0)$$[a,\ +\infty)、 (a > 0)$上连续且$f(x)⩾0$$f(x)\geqslant 0$。如果存在常数$M>0,p>1$$M>0, p>1$使得$f(x)⩽\frac{M}{x^p}(a⩽x<+\mathrm{\infty })$$f(x)\leqslant\frac M{x^p}\ (a\leqslant x < +\infty)$，那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$收敛；如果存在常数$N>0$$N>0$，使得$f(x)⩾\frac{N}{x}(a⩽x<+\mathrm{\infty })$$f(x)\geqslant\frac Nx\ (a\leqslant x<+\infty)$，那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$发散。

定理（极限审敛法 1） 设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty }]$$[a,\ +\infty]$上连续，且$f(x)⩽0$$f(x)\leqslant 0$。如果存在常数$p>1$$p>1$，使得$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{p}f(x)=c<+\mathrm{\infty }$$\lim\limits_{x\to +\infty}x^p f(x) = c<+\infty$，那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$收敛；如果$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}xf(x)=d>0$$\lim\limits_{x\to+\infty}x f(x)=d>0$，那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$发散。

定理：设函数$f(x)$$f(x)$在区间$[a,+\mathrm{\infty })$$[a,\ +\infty)$上连续，如果反常积分${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}|f(x)|\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm d x$收敛，那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$收敛。此定理称为满足绝对收敛。

无界函数的反常积分审敛法

定理（比较审敛法 2） 设函数$f(x)$$f(x)$在区间$(a,b]$$(a,\ b]$上连续，且$f(x)⩾0,x=a$$f(x)\geqslant 0,\ x=a$为$f(x)$$f(x)$的瑕点。如果存在常数#=$M>0,q<1$$M>0,q<1$使得$f(x)⩽\frac{M}{(x-a{)}^q}(a<x⩽b)$$f(x)\leqslant \frac M{(x-a)^q}\ (a<x\leqslant b)$那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$收敛；如果存在常数$N>0$$N>0$，使得$f(x)⩾\frac{N}{x-a}(a<x⩽b)$$f(x)\geqslant\frac N{x-a}\ (a<x\leqslant b)$，那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$发散。

定理（极限审敛法 2） 设函数$f(x)$$f(x)$在区间$(a,b]$$(a,\ b]$上连续，且$f(x)⩾0,x=a$$f(x)\geqslant 0,\ x=a$为$f(x)$$f(x)$的瑕点。如果存在常数$0<q<1$$0<q<1$，使得$\underset{x\to a^{+}}{lim}(x-a{)}^{q}f(x)$$\lim\limits_{x\to a^+}(x-a)^q f(x)$存在，那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$收敛；如果$\underset{x\to a^{+}}{lim}(x-a)f(x)=d>0$$\lim\limits_{x\to a^+}(x-a)f(x)=d>0$那么反常积分${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$$\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$发散。

$\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$函数

1. 递推公式 $\mathrm{\Gamma }(s+1)=s\mathrm{\Gamma }(s)(s>0)$$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\ (s>0)$

2. 当$s\to 0^{+}$$s\to0^+$时，$\mathrm{\Gamma }(s)\to +\mathrm{\infty }$$\Gamma(s)\to +\infty$

3. $\mathrm{\Gamma }(s)\mathrm{\Gamma }(1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}(0<s<1)$$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac\pi{\sin \pi s}\ (0<s<1)$

4. 在$\mathrm{\Gamma }(s)={\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}{x}^{s-1}\mathrm{d}x}$$\Gamma(s)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}\mathrm d x$中，作代换$x=u^2$$x=u^2$，有$\mathrm{\Gamma }(s)=2{\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-u^2}{u}^{2s-1}\mathrm{d}u}$$\Gamma(s)=2\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}u^{2s-1}\mathrm d u$

   令$s=\frac{1}{2}$$s=\frac 1 2$得：$2{\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-u^2}\mathrm{d}u=\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }}$$2\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\mathrm d u=\Gamma(\frac 1 2)=\sqrt\pi$

   从而得到概率论常用积分${\displaystyle {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-u^2}\mathrm{d}u=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\mathrm d u=\frac{\sqrt\pi}2$