定积分的应用

6.1 定积分的元素法

一般地，如果某一实际问题中所求量$U$$U$符合以下条件：

1. $U$$U$是一个与变量$x$$x$的变化区间$[a,b]$$[a,\ b]$有关的量；
2. $U$$U$对于区间$[a,b]$$[a,\ b]$具有可加性，就是说可以吧$U$$U$分成许多部分区间；
3. 部分量$\mathrm{\Delta }{U}_i$$\Delta U_i$的近似值可表示为$f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$f(\xi_i)\Delta x_i$

那么就可以用定积分来表达$U$$U$。

积分表达式的步骤是：

1. 选取一个积分变量$x$$x$，并确定积分区间$[a,b]$$[a,\ b]$；

2. 把区间$[a,b]$$[a,\ b]$分成$n$$n$个小区间，任一小区间记作$[x,x+\mathrm{d}x]$$[x,\ x+\mathrm d x]$，$\mathrm{\Delta }U$$\Delta U$近似表示为连续函数在$x$$x$处的值$f(x)$$f(x)$与$\mathrm{d}x$$\mathrm d x$的乘积，称为量$U$$U$的元素：

   $$\mathrm{d}U=f(x)\mathrm{d}x$$

3. 在区间上的定积分：

   $$U={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

6.2 定积分在几何学上的应用

平面图形的面积

1. 直角坐标
2. 极坐标

体积

1. 旋转体的体积
2. 平行截面面积已知的立体体积

平面曲线的弧长

定理：光滑曲线弧是可求长的

6.3 定积分在物理上的应用

变力沿直线所作的功

水压力

引力